有名曲線【リサジュー曲線 (リサージュ曲線)】【2014年度同志社大学】

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

リサジュー曲線と呼ばれる有名曲線について扱った問題です。

リサージュ曲線という呼ばれ方もあり、呼ばれ方に多少揺れがあります。

個人的にはリサージュの方が言いやすいですけど。

リサージュ曲線の定義

媒介変数 $t$ を用いて

リサージュ曲線

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = A \sin{at} \\
y = B \sin{(bt+\delta)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と表される曲線をリサージュ曲線と言います。

ただし、 $\sin{ \ }$ で表現できる値は $\cos{ \ }$ としても表現できるわけですから、がんじがらめに上の定義に拘る必要はありません。

要するに

２つの単振動の合成

と捉えた方が一言で言えてスッキリです。

よくある例題や、もう少し簡単な例題もあるにはありますが、あまりに簡単だと

$y=f(x)$ の形で表してしまった方が簡単じゃん

となってしまうため、パラメータ表示された曲線の扱いを学ぶ上では少し物足りないと判断しました。

なので、少しだけ処理に骨のある本問をもってきました。

（以下ネタバレ注意）

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(1) , (2) について

$x$ 座標だけとらえるのであれば、最大は $1$ , 最小は $-1$ となることは即分かります。

そのときの座標まで捉えるとなると $t$ の値を捕まえなければなりません。

普通に $\sin{3t}=1$ , $\sin{3t}=-1$ となる $t$ の値を出してもよいし、グラフ的に判断してもよいでしょう。

(2) も同様で

$\sin{3t}=\pm \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\sin{3t}=0$ となる $t$ の値を出すことを考えます。

(3) について

$x(t)=\sin{3t}$ , $y(t)=\sin{2t}$ というように、時刻 $t$ による関数として捉えると分かりやすいと思います。

問題の主張は異なる時刻 $t_{1}$ , $t_{2}$ ( $t_{1} \lt t_{2}$ ) に対して

$x(t_{1})=x(t_{2})$ , $y(t_{1})=-y(t_{2})$

となるような $t_{1}$ , $t_{2}$ の存在を示唆しています。

問題で主張されている対称性を考えるにあたって

$x(t)=x(\pi-t)$ , $y(t)=-y(\pi-t)$

というような $ (t_{1} \ , \ t_{2})=(t \ , \ \pi-t)$ が見つかると思いますので、解決です。

(4) について

(3) で示した対称性から、労力は半分で済みます。

上半分、すなわち $y \geq 0$ となるような $t$ の範囲である $ 0 \leq t \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ でグラフの概形を考えれば十分です。

パラメータ表示された曲線の概形を捕まえるにあたっては

$t$ の変化に伴う $x$ の増減 , $y$ の増減を調べればよく、

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ の符号

を追いかけることで、概形を調べることができます。

増減表を描く際は、時刻 $t$ の変化にともなって動く動点の速度ベクトル

$\vec{v}=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{dx}{dt}\\
\displaystyle \frac{dy}{dt}
\end{array}
\right)$

を増減表の中に反映させると、動きを追いやすくなります。

このあたりの書き方は個人差やクセがありますので、一概に押し付けるのもどうかとは思いますが、【解答】のような書き方も参考にしていただければと思います。

(5) について

パラメータ表示された曲線に関する面積は独特です。

手や頭の動かし方については【解答】の中に注釈を入れる形で解説していますので、そちらを参考にしてください。

特に本問はくり抜きが必要な面積になりますので、手際の良さが求められます。

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