多項式の剰余問題【重解型】【1997年度 文教大】

(1) について

$x^{n}$ を $(x-2)(x-3)$ で割った商を $A(x)$ とします。

２次式で割った余りは１次式、もしくは定数（高々１次という言い方をします）です。

そこで、求める余りを $px+q$ と表します。

そうなると

$x^{n}=(x-2)(x-3)A(x)+px+q$

と表せます。

これに $x=2 \ , \ 3$ を代入すると

を得ます。

これら $p$ ,  $q$  についての連立方程式を解くと、

• $p=3^{n}-2^{n}$
• $q=3 \cdot 2^{n}-2 \cdot 3^{n}$

となりますから、求める余りは

$(3^{n}-2^{n})x+(3 \cdot 2^{n}-2 \cdot 3^{n})$

となります。

(2) について

今度は４次式で割った余りなので、高々３次です。

方針１

余りを

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

と設定します。

$x^{n}$ を $(x-1)^{4}$ で割った商を $Q(x)$ とすると

$x^{n}=(x-1)^{4}Q(x)+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

という関係式が得られます。

(1) は未知数の個数に対して、条件式の個数も足りていたのですが、今回は $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$  という未知数４個に対して、代入できるのは $x=1$ しかありません。

数学Ⅲを学習していれば、この打開策として

• 両辺を微分する

という作戦が有名な打開策となります。

これについては経験による裏打ちがないと厳しい類の路線です。

この方針の解答が【解１】です。

方針２

先にネタバレしてしまいます。

$x^{n}=\{(x-1)+1\}^{n}$ と見て二項定理をかますと

$1+{}_n \mathrm{ C }_{1} (x-1)^{1}+{}_n \mathrm{ C }_{2}(x-1)^{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}(x-1)^{3}+(x-1)^{4}Q(x)$

という形となり、$R(x)$ は

$R(x)=1+{}_n \mathrm{ C }_{1} (x-1)^{1}+{}_n \mathrm{ C }_{2}(x-1)^{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}(x-1)^{3}$

と分かり、

$R(2)=1+{}_n \mathrm{ C }_{1} +{}_n \mathrm{ C }_{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}$

と即終わります。

この路線は「基底の変換」という話となり、【解２】で触れてあります。

解答はコチラ