動点の存在範囲【直線のベクトル方程式の拡張】【1976年度 東京大学】

点 $P$ が進む方向は決まっている

点 $P$ が進む方向を表す方向ベクトルは

$\left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ \end{array} \right)$$\longrightarrow$$\left( \begin{array}{c} -\sqrt{3} \\ 1 \\ \end{array} \right)$$\longrightarrow$$\left( \begin{array}{c} -1 \\ -\sqrt{3} \\ \end{array} \right)$$\longrightarrow$$\left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ -1 \\ \end{array} \right)$

と左折するごとに周期的に変化していきます。

そこで、

$\vec{v_{1}}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ \end{array} \right)$ ,  $\vec{v_{2}}=\left( \begin{array}{c} -\sqrt{3} \\ 1 \\ \end{array} \right)$ ,  $\vec{v_{3}}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -\sqrt{3} \\ \end{array} \right)$ ,  $\vec{v_{4}}=\left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ -1 \\ \end{array} \right)$

として、

などと設定して考えていきます。

これにより、点 $Q$ の位置ベクトル $\overrightarrow{ OQ }$ が

$\overrightarrow{ OQ }=t_{1}\vec{v_{1}}+t_{2}\vec{v_{2}}+t_{3}\vec{v_{3}}+t_{4}\vec{v_{4}}$

と式として得られることになります。

もちろん、$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}=1$  を満たしながら動くときに $Q$ の存在範囲を考えることになります。

本問は基本の拡張

という基本事項は、難関大受験生であればもちろんインストール済みでしょう。

そう考えると本問は

$\overrightarrow{ OQ }=t_{1}\vec{v_{1}}+t_{2}\vec{v_{2}}+t_{3}\vec{v_{3}}+t_{4}\vec{v_{4}}$  ( $t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}=1$  )

で与えられる点 $Q$ の存在範囲を考える問題で、上記基本事項の拡張であることが分かります。

上記基本事項を活かすような方針や式変形である

$\overrightarrow{ OQ }=(t_{1}+t_{2})\cdot \displaystyle \frac{t_{2}\vec{v_{2}}+t_{1}\vec{v_{1}}}{t_{1}+t_{2}}+(t_{3}+t_{4})\cdot \displaystyle \frac{t_{4}\vec{v_{4}}+t_{3}\vec{v_{3}}}{t_{3}+t_{4}}$

と見ることができればしめたものでしょう。

この式変形は初学者の段階ではテクニカルに見えるものの、学習を積み重ねていくうちに「常套手段の一つ」というレベルに昇華しているはずです。

この後の細々とした議論については解答で詰めてあります。

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