仮想難関大（オリジナル予想問題）【複素数平面～式の形から何を見出すか～】

2021年2月11日

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は京大の複素数平面の過去問を意識して作ってみた問題です。

大雑把には流れが読めるかもしれませんが、細かなところを詰めようとすると意外と「痒い」です。

（以下ネタバレ注意）

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１つ目の条件の使い方がポイントです。

条件の対称性から恐らく「 \(\triangle ABC\) が正三角形になるのでは？」ということは予想できるかもしれません。

ただ、どうやってそこにもっていくかということが問題です。

勉強している人は、１つ目の条件の辺々を加えると

\(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha\)

が得られ、この式の形から \(\triangle ABC\) が正三角形」ということが言えることは常識になっているはずです。
（常識になっていなかった方は【総括】の中で触れてありますので、ご確認ください。）

ただ、今回はそれだと正三角形という「形」は分かっても、どこにあるかという「場所」までは分かりません。

「 \(\alpha\) , \(\beta\) , \(\gamma\) を求めよ。」という場所を聞かれている本問にとっては、行き詰まる解法になってしまいます。

\(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha\) が急所なら、最初からそう聞いています。

敢えて、今回のような形で聞いているからには、意図があり、見抜いてほしいカラクリがあります。

ぜひ、そこを考えてみてほしいです。