仮想難関大（オリジナル予想問題）【ベクトル～幾何的な見方～】

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回はベクトルの問題です。

前半は定番の話題なので、基礎の確認として活用できると思います。

オチの問題については、少し考えるものになっています。

恐らく真正面からぶつかると大変な思いをすることになります。

そこでどのような工夫ができるか、腕の見せ所です。

（以下ネタバレ注意）

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構図の把握

与えられたシチュエーションを図示すると

という図のようになります。

$\overrightarrow{ \mathrm{OD} }=\overrightarrow{ \mathrm{OA} }+\displaystyle \frac{1}{4}\overrightarrow{ \mathrm{AB} }=\vec{a}+\displaystyle \frac{1}{4} \vec{c}$
$\overrightarrow{ \mathrm{OE} }=\overrightarrow{ \mathrm{OC} }+\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{ \mathrm{CB} }=\vec{c}+\displaystyle \frac{1}{3} \vec{a}$

と、内分点の位置ベクトルについての基本的な問いです。

一般に直線 $\mathrm{XY}$ 上の点 $\mathrm{P}$ は

直線上の点

$u$ を実数として

$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=(1-u)\overrightarrow{ \mathrm{OX} }+u \overrightarrow{ \mathrm{OY} }$

という形で表せます。

ポイント

係数足して $1$ ならば、先っちょ通る直線上

ということになります。

今回の点 $\mathrm{P}$ は

直線 $\mathrm{BC}$ と $\mathrm{DF}$ の交点

として与えられる点です。

したがって、 $\overrightarrow{ \mathrm{OP} }$ は、実数 $s$ , $t$ を用いて

$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=(1-s)\overrightarrow{ \mathrm{OB} }+s\overrightarrow{ \mathrm{OC} }$
$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=(1-t)\overrightarrow{ \mathrm{OD} }+s\overrightarrow{ \mathrm{OF} }$

と２通りで表せます。

あとは、 $\overrightarrow{ \mathrm{OP} }$ を $\vec{a}$ , $\vec{c}$ で２通りで表し、係数比較に持ち込むことになります。

２つのベクトル $\vec{x}$ , $\vec{y}$ によって作られる三角形の面積公式

$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{x}|^{2}|\vec{y}|^{2}-(\vec{x} \cdot \vec{y})^{2}}$

を用いて $\triangle{\mathrm{BPD}}$ , $\triangle{\mathrm{EPF}}$ の面積を直接計算し、それらを等号でつなぐという方針は茨の道でしょう。

そこで、幾何の力を借りて少しでも計算量を減らす工夫を考えます。

ヒントとなる図を付しておきます。