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ピタゴラス数に関する問題で、印象に残るインパクトをもった問題です。
強力な誘導がありますから、思考力や発想力というよりは、問題の主張を把握し、誘導の意味を見出す読解力寄りの力が求められます。
なので、問題を解くこと自体はそこまで難問ではないでしょう。
今回は、\(x\) , \(y\) が連続２整数となるようなピタゴラス数についてスポットが当たっていますが、これについてのちょっとした深掘りも考えてみましょう。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(a^{2}+(a+1)^{2}=b^{2}\) であるという条件の下で \((s \ , \ t \ , \ u)=(a^{*} \ , \ a^{*}+1 \ , \ b^{*})\) が ② の解である ということを示します。 示すべきことをもう少し掘り下げていくと \((a^{*})^{2}+(a^{*}+1)^{2}=(b^{*})^{2}+1\) すなわち \((a+b)^{2}+(a+b+1)^{2}=(2a+b+1)^{2}+1\) でこれを整理すると \(b^{2}-2a^{2}-2a-1=0\) ということになり、これが示されればよいのですが、条件である \(a^{2}+(a+1)^{2}=b^{2}\) を整理すると、すぐに \(b^{2}-2a^{2}-2a-1=0\) であることが言えるため、解決します。 証明問題なので、書き方は天下り的に記述していきます。 後半に関しても同様です。 求める３組のピタゴラス数のうち \((x \ , \ y \ , \ z)=(3 \ , \ 4 \ , \ 5)\) は、即座に見つかるでしょう。 \(x\) , \(y\) が連続２整数となるようなピタゴラス数を作る一連の流れが (1) で明示されています。 今手元にある \((x \ , \ y \ , \ z)=(3 \ , \ 4 \ , \ 5)\) を (1) に適用してみます。 今、 \((x \ , \ y \ , \ z)=(3 \ , \ 3+1 \ , \ 5)\) は ① の解です。 \(a=3\) , \(b=5\) として (1) を見ると \((s \ , \ t \ , \ u)=(3^{*} \ , \ 3^{*}+1 \ , \ 5^{*})\) が ② の解となるわけです。 この \(3^{*}\) , \(5^{*}\) について計算すると ですから、 \((s \ , \ t \ , \ u)=(8 \ , \ 9 \ , \ 12)\) が ② の解ということになります。 再び (1) の結果から \((x \ , \ y \ , \ z)=(8^{*} \ , \ 8^{*}+1 \ , \ 12^{*})\) が ① の解ということになります。 ですから、 \((x \ , \ y \ , \ z)=(20 \ , \ 21 \ , \ 29)\) が ① の解ということになり、２つ目のピタゴラス数が得られました。 ３つ目についても、\((20 \ , \ 21 \ , \ 29)\) を基に (1) の結果を使い倒していけば、同様の要領で得られます。 一般に \(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) を満たす原始ピタゴラス数 \((x \ , \ y \ , \ z)\) は、互いに素な整数 \(a\), \(b\) を用いて \((x \ , \ y \ , \ z)=(a^{2}-b^{2} \ , \ 2ab \ , \ a^{2}+b^{2})\) または \((x \ , \ y \ , \ z)=(2ab \ , \ a^{2}-b^{2} \ , \ a^{2}+b^{2})\) となります。 ピタゴラス数については テーマ別演習：ピタゴラス数 で扱っており、特に一般解の導出については第２講でスポットを当てています。 今回は \(x=y+1\) または \(y=x+1\) となるとき、すなわち \(a^{2}-b^{2}=2ab+1\) または \(2ab=a^{2}-b^{2}+1\) のときを考えるわけです。 これは \((a-b)^{2}-2b^{2}=1\) または \((a+b)^{2}-2a^{2}=1\) と変形できます。 どちらについても \(X^{2}-2Y^{2}=1\) という構造をしているため、この不定方程式の整数解を求めたくなるでしょう。 これは「ペル方程式」と呼ばれるもので、 \((X \ , \ Y)=(3 \ , \ 2) \ , \ (17 \ , \ 12) \ , \ \cdots\) という整数解があります。 ペル方程式の扱いと基本については テーマ別演習：ペル方程式 で扱っています。 例えば \((X \ , \ Y)=(3 \ , \ 2)\) というペル方程式の解によって、\((a-b)^{2}-2b^{2}=1\) において \(a-b=3\) , \(b=2\) とすることができるわけで、これにより \(a=5\) , \(b=2\) を得ます。 ここから \((X \ , \ Y \ , \ Z)=(20 \ , \ 21 \ , \ 29)\) という所望のピタゴラス数を得るわけです。 \((a \ , \ a+1 \ , \ b)\) と \((a^{*} \ , \ a^{*}+1 \ , \ b^{*})\) が ① や ② の解を行き来する面白さに加え、ピタゴラス数とペル方程式という２つの大きなテーマが手を結んでいることに奥深さを感じますね。(1) について
(2) について
\(x\) , \(y\) が連続２整数となるピタゴラス数
