実践演習 整数系

3文字の基本対称式と最大公約数【2022年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

3文字の基本対称式に関する最大公約数について考える問題で、見た目のインパクトが大きい問題です。

2文字の基本対称式についての

有名事実

正の整数 \(p\) ,  \(q\) に対して

\(p+q\) ,  \(pq\) が互いに素  \(\Leftrightarrow\)  \(p\) ,  \(q\) が互いに素

という事実の、3文字への拡張ということになります。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

方針1

最大公約数を \(G\) として

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c = G\alpha \\
ab+bc+ca = G\beta\\
abc=G\gamma
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と表し、\(G \geq 2\) と仮定して矛盾を導く

方針2

共通素因数を \(p\) をもつと仮定し

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c = p\alpha \\
ab+bc+ca = p\beta\\
abc=p\gamma
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と表し、矛盾を導く

という方針が考えられますが、\(abc\) という積について注目すれば

  • \(abc\) が素数 \(p\) の倍数

という方が話を進めやすいため、方針2を採用することにします。

\(a\) が \(p\) の倍数とすると

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c = p\alpha \\
ab+bc+ca = p\beta\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

から

  • \(b+c\) ,  \(bc\) も\(p\) の倍数

ということになります。

特に \(bc\) が \(p\) の倍数なので、

\(b\) が \(p\) の倍数ならば \(b+c\) が \(p\) の倍数であることから \(c\) も \(p\) の倍数

ということになります。

同様に \(c\) が \(p\) の倍数ならば \(b\) も \(p\) の倍数ということが言えます。

つまり、

\(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) が全て \(p\) の倍数ということになり、これらの最大公約数が \(1\) であることに矛盾します。

(2) について

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) , \(a^{3}+b^{3}+c^{3}\) を、それぞれ基本対称式

\(x=a+b+c\) ,  \(y=ab+bc+ca\) ,  \(z=abc\)

を用いて表したくなるでしょう。

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2 (ab+bc+ca)\)

という関係式、及び

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)

という因数分解公式から

  • \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{2}-2y\)
  • \(a^{3}+b^{3}+c^{3}=x^{3}-3xy+3z\)

という関係を得ます。

そうなると、本問は

\(x\) ,  \(x^{2}-2y\) ,  \(x^{3}-3xy+3z\)

の最大公約数を考えることになります。

ここから見える人は

  • 結局、\(x\) ,  \(2y\) ,  \(3z\) の最大公約数を考えればよい

と見えるでしょう。

解答ではこのあたりをもう少し詰めて記述していきます。

解答はコチラ

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