実践演習 極限・微分積分系

面積の等分に関する立式【区分求積法についての良問】【2001年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

面積の等分に関する条件をいかに立式するかを考える問題です。

  • 雑味が少なく、ポイントが多すぎないこと
  • まんま公式を当てはめるだけの問題ではなく、ある程度実践レベルであること

という意味で、指導者側が教材に使いたい要素満載です。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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状況を図示すると

のようになります。

注意したいのは

幅を等分しているわけではない

ということです。

最終的な和を扱う際に、\(\sqrt{a_{k}}\) が必要になります。

そのことを念頭におきつつ、面積を \(n\) 等分しているという本問の状況を立式すると

\(\displaystyle \int_{1}^{a_{k}} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} dx={(\displaystyle \int_{1}^{4} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} dx)\times \displaystyle \frac{1}{n}}\times k\)

という関係式に辿り着きます。

これを翻訳すると、区分求積法で仕留める匂いが漂う形が得られることになるでしょう。

(最初から匂っていた人もいたかもしれませんが)

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