実践演習 整数系

連続する自然数の和【連続自然数の和で表せるための条件】【2015年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

連続する自然数の和で表せるかどうかを考える問題で、しばしば出題される話題です。

その中でもテーマになりやすい内容を一通り盛り込んでいる本問を選びました。

どうせなら2020年度入試で出題すればよかったのに。

(以下ネタバレ注意)

 

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\(n\) から始まる連続自然数の和として

\(S=n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+m)\)  ( \(m\) は自然数 )

と設定します。

等差数列の和として処理してもよいですし、シグマ計算してもよいです。

整理すれば、

\((m+1)(2n+m)=2S\)

という式を Get できると思います。

(1) は \(S=2020\) のときを考えますから、

\((m+1)(2n+m)=4040 \ (=2^3\cdot5\cdot101)\)

を満たす自然数 \(n , m\) を考えるという整数問題になります。

ここから先は整数問題の基本的な手法の1つである「積の形から約数の拾い上げ」という手法で倒していきます。

【「積の形から約数の拾い上げ」については以下の記事の中で簡単に説明しています】

指数型の不定方程式【整数問題の基本的手法の運用】【2010年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   まずは整数問題の有力方針を確認します。   整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する( ...

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ただし、このまましらみつぶしに全パターンを調べるのは大変です。

明らかにあり得ないものについては、最初から排除したいところです。

その際注目するポイントとしては

  • 符号チェック
  • 大小チェック
  • 偶奇チェック
  • 互いに素かどうかチェック

が主なところです。

整数問題として本問を捉えるのが筋ですが、直感的に連続自然数の和に分割することも可能です。

例えば、2020 は

\(2020=404+404+404+404+404\)

と奇数個に分割できます。

これを

というように見れば連続自然数の和で表せます。

しかし、\(2020=20+20+20+\cdots+20\)  ( 101 個の和 ) のように余りに細かく分割しすぎると

のように、スタートが負になってしまいます。

偶数個のときは

のように見ます。

さて、以上のように考えると、(2) において考える \(S=2^a\) というケースですが、\(2^{●} \times 2^{■}\)  というようにしか分割できません。

まず、これは奇数個の和に分割できないことを意味します。

偶数個には分けられますが、

と、\(2^{○}\) を \(N+(N+1)\) のように分割できません。

逆に (3) ですが、\(S=2^{a} (2b+1)\) のときは

\(S=2^a+2^a+\cdots+2^a\)  ( \(2b+1\) 個の和 )

と奇数個の和に分割できることになります。

ただし、先ほど述べたように、あまりに細かく分割しすぎると、スタートが負になってしまう問題があります。

このあたりはきちんと数式を用いて考える必要があるでしょう。

以上が直感的なお話です。

もちろん、解答としてはきちんと数式を用いて論じる必要がありますが、本問が主張する内容が「そりゃそうか」と思えれば、少しはこのテーマが身近に感じるかなと思います。

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