テーマ別演習 逆像法

逆像法 第4講【方程式の実数解のとり得る値の範囲】

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逆像法第4講は

方程式の実数解がとり得る値の範囲

を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。

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逆像法 第4講【方程式の実数解のとり得る値の範囲】

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(以下ネタバレ注意)

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(1) について

これについては2次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。

整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。

  • \(x=0\) を解にもつとき
  • \(x=2\) を解にもつとき
  • \(0 \lt x \lt 2\) でただ一つ解をもつとき

と等号が入るときは別枠で考えて整理していく方が分かりやすいでしょう。

(2) について

解の公式から

\(x=\displaystyle \frac{-(a-1)\pm \sqrt{(a-1)^{2}-4 (a+2)}}{2}\)

として、\(a\) が \(-2 \leq a \leq -1\) の範囲で動くときの \(x\) のとり得る値の範囲を求めるという方針は、見るからに茨の道です。

そこで、逆像法の考え方の出番です。

例えば

\(x=1\) って解になれるかどうかを考えます。

\(1^{2}+(a-1)\cdot 1+a+2=0\) ,  すなわち \(a=-1\) であれば、\(x=1\) を解にもつように仕組めるわけです。

今回は \(-2 \leq a \leq -1\) の範囲で動かすので、\(x=1\) は解になり得ることになります。

\(x=10\) が解にもつかどうかについても見てみます。

\(10^{2}+(a-1)\cdot 10+a+2=0\) ,  すなわち \(a=-\displaystyle \frac{92}{11}\) であれば、\(x=10\) を解にもつように仕組めるわけです。

しかし、\(-2 \leq a \leq -1\) の範囲で動かす限り、 \(a=-\displaystyle \frac{92}{11}\) とすることはできず、\(x=10\) は解になり得ないことになります。

しらみつぶし

しらみつぶすつもりで、

\(x=k\)って解になる? なれるとしたらどんな \(k\)?

と考えます。

すると \(k^{2}+(a-1)k+a+2=0\) ,  すなわち

\((k+1)a+k^{2}-k+2=0\)

という \(a\) についての方程式が \(-2 \leq a \leq -1\) の範囲で解をもつような \(k\) の範囲を考えればよいことになります。

類題について

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

逆像法の考え方に加え、三角関数の運用力も試されます。

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