場合の数・確率系 実践演習

簡易的なポーカー【ストレートとフラッシュの確率】【1995年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

問題をよくよく観察してみると、トランプのポーカーをモデルにしているということが分かります。

同じ色が揃うというのは、ポーカーでいうと「フラッシュ」ということですし、番号が連続するというのは「ストレート」ということでしょう。

枚数などがオリジナルのルールとは若干違いますが、計算量などの調節のためでしょう。

(以下ネタバレ注意)

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フラッシュについて

まずは、\(P_{n}\)について考えてみます。

例えば赤が4枚揃うときを考えてみたいと思います。

\(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\) , \(赤_{〇}\)

の〇の部分に数字を入れていけばいいわけです。

順番は無視すれば、1~\(n\) の中から4個選んで前から当てはめていけばいいわけですから、\({}_n \mathrm{ C }_4\) 通りあります。

青が揃うとき、黄が揃うとき、白が揃うときも同様なので、\(4\cdot {}_n \mathrm{ C }_4\)通りがフラッシュとなる場合の数です。

ストレートについて

例えば\(\{1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \}\) と連続するときを考えてみます。

\(1_{〇}\) , \(2_{〇}\) , \(3_{〇}\) , \(4_{〇}\)

の〇の部分に赤、青、黄、白のどれを入れるのかが \(4\) 通りずつありますから、\(4^{4}\) 通りあります。

\(\{2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \}\) , \(\{3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \}\) \(\cdots\) \(\{n-3 \ , \ n-2 \ , \ n-1 \ , \ n \}\)

についても同様なので、\(4^{4}\cdot(n-3)\) 通りがストレートになるような場合の数です。

\(P_{n} \lt Q_{n}\) の処理

確率の分母は共通ですから、結局は

\(4\cdot {}_n \mathrm{ C }_4 \lt 4^{4} \cdot (n-3)\) を満たす \(n\) について考えればよいでしょう。

これを整理すると

\(n(n-1)(n-2) \lt 1536\)

となり、これを満たす最大の \(n\) を考えることになります。

とは言え、左辺の3次関数は \(n \geq 4\) の範囲では単調増加なので、実際に3次不等式を解くというよりは「見つける」というニュアンスです。

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