実践演習 数列系

等比数列と等差数列がかみ合った数列【構造を把握する力を試す】【1986年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

連続3項間の関係が等比数列、等差数列を繰り返しているという、数列を扱った問題です。

構造的には

前の2項の情報が分かったら、その次が分かる

という構造です。

色々な考え方や方針がありますので、まずは自由に考えてみてください。

 

(以下ネタバレ注意)

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

具体的に実験してみると

初期条件が \(a_{1}=1\) ,  \(a_{2}=2\) ですから、\(a_{3}\) は等比数列と見て \(a_{3}=4\)

\(a_{2}=2\) ,  \(a_{3}=4\) ですから、\(a_{4}\) は等差数列と見て \(a_{4}=6\)

このように考えて以後も実験を続けてみると

1 ,  2 ,  4 ,  6 ,  9 ,  12 ,  16 ,  20 ,  \(\cdots\)

となりますが、ここから何を見出すかです。

奇数番目が分かりやすく、平方数となっています。

つまり、\(a_{2m-1}=m^{2}\) だと予想できます。

偶数番目の方は 2 ,  6 ,  12 ,  20 , \(\cdots\) で、少し予想が立てづらいかもしれませんが

<方法1>:\(1\times 2\) ,  \(2 \times 3\) ,  \(3\times 4\) ,  \(4\times 5\) , \(\cdots\)と見る

もしこのように見ることができれば、 \(a_{2m}=m(m+1)\) という予想が立ちます。

一発でそのように見ることができなかったとしても

<方法2>:階差数列をとってみる(4 ,  6 ,  8 ,  \(\cdots\) となっています)

という方針でも予想が立ちます。

いずれにせよあくまで「予想」にすぎませんから、その予想を裏付ける必要があります。

その方針としてはやはり数学的帰納法ということになります。

また、予想を証明するという方針以外にも、直接漸化式を作ることで処理する方針もあります。

解答はコチラ

-実践演習, 数列系
-, , ,

© 2022 MathClinic