場合の数・確率系 実践演習

確率の原則【同様に確からしいとは】【確率では全てのものを区別せよ】【2003年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

決して簡単ではないですが、確率の原則を確認する上で非常にいい問題です。

まず、同様に確からしいということについてです。

同様に確からしいということについて

東大に受かる確率について

受かる or 落ちる

の2通りなので、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

と聞いて、明らかにおかしいと感じてくれると思います。

当然、この「2通り」の起こりやすさが違うわけです。

全事象(起こり得るすべての根元事象)の起こりやすさが全て等しいとき、「同様に確からしい」と言います。

先ほどの東大の例の「受かる」と「落ちる」という全事象は同様に確からしくないため、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) というのは誤りということになります。

もし、東大が「受かる」と「落ちる」と書かれた同数の紙を箱の中から引いて合否を決めているのであれば、先ほどの「受かる」と「落ちる」の起こりやすさが同じということになり、全事象が同様に確からしいと言えるので、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) は正しいのですけどね。

確率は単純に \(\displaystyle \frac{場合の数}{場合の数}\) とは違うのですね。

 

「場合の数」と「確率」は厳密には違う

普段、指導者側も「場合の数・確率」と言ってしまいがちですが、厳密には「場合の数」と「確率」は違います。

もう少し実践的なお話をします。

例題

袋の中に \(99\) 個の白玉と \(1\) 個の赤玉がある。

この袋から \(1\) 個玉を取り出すとき、赤玉が出る確率を求めよ。

 

「バカにすんなよ」と言われそうですね。

もちろん答えは \(\displaystyle \frac{1}{100}\) です。

ここで一つ訊きますが、なぜ分母を\(100\)にしたのですか?

無意識に、\(99\) 個の白玉を「区別して」考えていますね?

白1、白2、白3、\(\cdots\) 白99 などと番号をつけるなどして、区別することで、この \(100\) 通りの起こりやすさが同じとなり、同様に確からしいということになります。

これを「白をとる」「赤をとる」という2通りだから \(\displaystyle \frac{1}{2}\) とやるのは、先ほどの東大の過ちと同じことをやっていることになります。

ではなぜ、\(\displaystyle \frac{1}{100}\) が正しく、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) が間違いなのかについて、もう少し深く考えてみたいと思います。

 

確率は自然現象

まず、認識していただきたいのは「確率は自然現象」であるということです。

先ほどの玉の数を少し減らして、

例題2

白玉\(2\) 個、赤玉\(1\)個が入っている袋から玉を \(1\) 個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めよ。

という問題にします。

もちろん\(\displaystyle \frac{1}{3}\) が正しく、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) は間違いです。

例えば、「この袋から取り出して色を確認して元に戻す」という作業を 100 回やったとします。

何回ぐらい赤が出るでしょうか?

30 回ぐらいでしょうか? 28 回ぐらいでしょうか?

もしかしたら15 回ぐらいになることもあるかもしれません。

(まさかとは思いますが、33回になるとは言い切れませんよ)

ただ、この試行回数を1000回、10000回、100000回と増やせば増やすほど、試行回数に対する赤玉が出る割合は \(\displaystyle \frac{1}{3}\) に近づいていくわけです。

つまり、確率とは

試行実験の結果

という自然現象です。

玉を区別するとか、区別しないとかは、場合の数においては作者の思うがままです。

区別したときは何通りですか → 3通り

区別しなかったら何通りですか → 2通り

しかし、確率において

区別したときの確率は?

区別しなかったときの確率は?

そんな問題文あり得ません。

「この2つの白玉は同じだ同じだ同じだ \(\cdots\)」と思いながら 10000 回取り出したら 5000 回ぐらい赤玉が出るのでしょうか?

そんなことはありません。

どう思おうが 10000 回取り出したら 3333 回ぐらい赤玉が出ることになるわけです。

もう一度言います。

確率は自然現象。区別するしないの権限は問題の作者にすらありません。

確率の鉄則

確率では全てのものを区別せよ

これが鉄則であり、これにより、全事象の起こりやすさが同様に確からしくなるわけです。

 

この確率の原則が、本問を考える際にも効いてくることになります。

①:分母と分子を同じ概念で数える

②:全事象は同様に確からしく数える

上で解説した、確率における原則に基づいて考えていきます。

逆に言えば①、②を守れば、あとは自分が考えやすいように考えてもよいということです。

そのあたりについては解説の中でご確認ください。

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