実践演習 方程式・不等式・関数系

相反多項式【関数方程式への対応】【2008年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

見た目は「これ満たす \(f(x)\) なぁ~んだ」という「関数方程式」です。

(1) で、この \(f(x)\) が高々 4 次であることを示させるということでだいぶ親切です。

次数の決定については、ノーヒントであることも多いので、誘導を期待せず自分でも考えるように準備しておきましょう。

問題は (2) です。

様々な解法が考えられますので、まずはしっかりと手と頭を動かして考えてみてください。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) から \(f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) と置けます。

そこから条件 (A) をほぐしていくと

\(a_{4}=a_{0}\) ,  \(a_{3}=a_{1}\)  を得ます。

これより ,  \(f(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\)

と \(x^{2}\) を中心として係数が左右対称です。

このような多項式を「相反多項式」と言います。

続いて条件 (B) ですが、

\(f(1-x)=f(x)\) が \(x\) に関する恒等式である

と見るのが自然でしょうか。

多項式に関する恒等式の処理としては

多項式に関する恒等式であることの翻訳

係数比較法(各項の係数を比較する)

数値代入法(自分にとって都合のよい値を代入して候補を出す)

という方法がメジャーな解法として知られています。

どちらでも処理可能ですので、お好きな方で処理してください。

ただし、数値代入法では「必要性と十分性」についての理解が必須です。
(これについては【総括】でも触れておきました)

また、条件 (B) をグラフ的に捉えた解答についても検証してみました。

解答はコチラ

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