テーマ別演習 漸化式の基本パターン

漸化式の解法基本パターン 第6講【2項間漸化式:変数倍型】

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漸化式の解法基本パターン 第1講【2項間漸化式:ズラせば等比数列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

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漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   前回の第1講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は2パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

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漸化式の解法基本パターン 第3講【2項間漸化式:分数型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第3講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形(特殊な形)である 分数漸化式(メタボ型) \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

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漸化式の解法基本パターン 第4講【2項間漸化式:特性方程式使うと事故る型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第4講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 (もっといいネーミングがあれば募集します。)   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

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漸化式の解法基本パターン 第5講【2項間漸化式:そうだ、logをとろう型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第5講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

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漸化式の解法基本パターン 第6講【2項間漸化式:変数倍型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第6講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

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漸化式の解法基本パターン 第7講【隣接3項間漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第7講では3項間漸化式を扱います。 3項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この3項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

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漸化式の解法基本パターン 第8講【2種類の連立漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   第8講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては2つあります。 連立漸化式の代表的方針 1文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 1文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第2式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第1式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

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第6講では「変数倍」型を扱います。

変数倍型

$$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$

基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。

今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。

このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。

(1) ,  (2)  は \(a_{n+1}=f(n)a_{n}\)  という形です。

これについては

どんどん番号を下げる

$$\begin{eqnarray}
a_{n} &=& f(n-1)a_{n-1} \\
&=& f(n-1)f(n-2)a_{n-2} \\
&=&f(n-1)f(n-2)f(n-3)a_{n-3} \\
&     \vdots& \\
&=&f(n-1)f(n-2)f(n-3)\cdots f(1)a_{1}
\end{eqnarray}$$

と漸化式を順次使って番号を下げていくことで、

\(f(n-1)f(n-2)f(n-3)\cdots f(1)\) という「総積」が分かれば解決です。

もちろん、「一般項を求めよ」と言われている以上、この「総積」は求められるような形のものが問われることになるでしょう。

(1) は約分でバサバサと消えていきますし、(2) は階乗が登場します。

 

(3) になって \(+1\) が付くだけで、だいぶ勝手が違ってきますね。

まずは

目標

$$f(n+1)a_{n+1}=f(n)a_{n}+g(n)$$

の形を目指したいところです。

\(b_{n}=f(n)a_{n}\) とおくことで、\(b_{n+1}=b_{n}+g(n)\) という階差の処理に持ち込むのが狙い筋です。

今回の場合で言うと

ラフにやってみると

$$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+2}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n}+\displaystyle \frac{1}{n+2} \ \cdots(☆)$$

と狙っていき、\(b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n}\) としたいところですが、左辺が \(b_{n+1}\) とならず困ってしまいます。

ここは難しいところなのですが、(☆)の両辺をさらに \(n+1\) で割ることで

調整後

$$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+2)(n+1)}=\displaystyle \frac{a_{n}}{(n+1)n}+\displaystyle \frac{1}{(n+2)(n+1)} \ \cdots(★)$$

を得て、\(b_{n}= \displaystyle \frac{a_{n}}{(n+1)n}\) とおくことで、\(b_{n+1}=b_{n}+\displaystyle \frac{1}{(n+2)(n+1)}\) と階差の形が得られるため、この後の見通しが立つことになります。

この後の階差の処理では、シグマ計算が必要になります。

今回は典型的な部分分数分解による「差分解からの和の中抜け」で処理できます。

このあたりは、シグマ計算の基本について段階を追って扱っている以下のシリーズ

シグマ計算基本方針 第1講【公式確認とその延長】【2010年度 九州大学など】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用   第1講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...

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シグマ計算基本方針 第2講【差分解からの和の中抜け】【2013年度 兵庫県立大学など】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【有理化】 【部分分数分解】 テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第2講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第2講では 差分解からの和の中抜け を扱います。 差分解からの和の中抜けとは \(\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_{k}-b_{k+1})\) とシグマの中身を差の形に見ることで \((b ...

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シグマ計算基本方針 第3講【二項定理の活用】【2007年度 大阪府立大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第3講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の3つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第3講では 二項定理の活用 を扱います。 二項定理を活用してシグマ計算する場面は特徴的であり、 二項定理を使うシグマ計算 コンビネーションのシグマ というのが見落としてはならない特徴であり、キーワードです。 ただ、単純に代入すればいいだけでなく、 ...

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シグマ計算基本方針 第4講【応用実践】【2005年度 大分大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【1】(以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) ,  \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) ,  \(\cdots\)  などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを ...

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シグマ計算基本方針 第5講【二項係数の2乗和】【経験値が必要】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 初見かつノーヒントであれば厳しいと思います。 まずはノーヒントで粘れるだけ粘ってみてください。 どうにも埒があかないな、となったら誘導付きの問題も用意しましたので、そちらで再チャレンジしてみてください。   + クリック(タップ)して誘導付きの問題でチャレンジする 誘導付きはこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \((1+x)^{2n}\) という式を考えるという部分が見えるだけでも、気持ち的には楽でしょう。 と ...

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シグマ計算基本方針 第6講【二項係数の交代和】【2005年度 山形大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和(交代和)について考えます。 前半部分は第3講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^{n}\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) ,  \(b\)  を利用 ...

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シグマ計算基本方針 第7講【3つ飛ばしの二項係数の和】【1997年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   今回扱うのは3つ飛ばしの二項係数の和について扱います。 原題ではもう少し段階的な設問がありましたが、言われたことをやっているうちに終わってしまい、作業感が強かったため、考えてもらいたい部分については一部カットしました。   (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 二項定理の活用により仕留める方針が第一感です。 \((1+x)^{n}={}_{n} \ma ...

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も適宜活用していただければと思います。

なお、(1)、(2) については別解もありますが、その別解がかえって体系的にまとめたり整理する際に混乱のもととなっているような気がしますので、一応参考程度に最後に載せておきましたが、表立って前面には出していません。

 

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