漸化式の基本パターン

漸化式の解法基本パターン 第4講【2項間漸化式:特性方程式使うと事故る型】

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漸化式の解法基本パターン 第1講【2項間漸化式:ズラせば等比数列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

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漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   前回の第1講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は2パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

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漸化式の解法基本パターン 第3講【2項間漸化式:分数型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第3講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形(特殊な形)である 分数漸化式(メタボ型) \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

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漸化式の解法基本パターン 第4講【2項間漸化式:特性方程式使うと事故る型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第4講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 (もっといいネーミングがあれば募集します。)   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

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漸化式の解法基本パターン 第5講【2項間漸化式:そうだ、logをとろう型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第5講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

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漸化式の解法基本パターン 第6講【2項間漸化式:変数倍型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第6講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

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漸化式の解法基本パターン 第7講【隣接3項間漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第7講では3項間漸化式を扱います。 3項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この3項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

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漸化式の解法基本パターン 第8講【2種類の連立漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   第8講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては2つあります。 連立漸化式の代表的方針 1文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 1文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第2式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第1式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

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漸化式の解法基本パターン第4講では

特性方程式使うと事故る型

\(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\)

というタイプをやっていきます。

長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。

(もっといいネーミングがあれば募集します。)

 

文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。

誤答

特性方程式 \(x=3x+n\) の解 \(x=-\displaystyle \frac{n}{2}\) を利用して、

\(a_{n+1}+\displaystyle \frac{n}{2}=3 (a_{n}+\displaystyle \frac{n}{2})\)

と変形でき、\(b_{n+1}=3b_{n}\) の形で等比数列

 

これについては \(b_{n}=a_{n}+\displaystyle \frac{n}{2}\) とおいたときに、左辺が \(b_{n+1}\) となっていないのが事故の原因です。

本当の \(b_{n+1}\) は  \(b_{n+1}=a_{n+1}+\displaystyle \frac{n+1}{2}\) なのですから。

 

このタイプの漸化式の倒し方は主に2路線あり

処方箋

路線その1:番号上げて(下げて)辺々操作

路線その2:事故の反省を踏まえて等比数列に帰着させる

という方針があります。

これも (1) を例にとります。

路線その1の方針は

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2}  = 3a_{n+1}+n+1 \\
a_{n+1}  = 3a_{n}+n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と番号を上げて、辺々引くと

\(a_{n+2}-a_{n+1}=3 (a_{n+1}-a_{n})+1\) となり、\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) とおくと、\(b_{n+1}=3b_{n}+1\) となります。

これは第1講で扱った基本的な特性方程式を用いて処理する形に帰着し、解決します。

もちろん \(b_{n}\) は数列 \(\{a_{n}\}\) の階差数列ですから、その後は階差数列の処理で仕上げます。

 

路線その2は

もし、\(a_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta=p (a_{n}+\alpha n+\beta)\) の形に変形できれば、\(b_{n}=a_{n}+\alpha n+\beta\) とおくことで、今度こそ

\(b_{n+1}=pb_{n}\)

と表すことができるため、解決します。

そんな「うまい \(\alpha\) ,  \(\beta\)」を探すために、「こうなっててほしいなぁ」という漸化式 \(a_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta=p (a_{n}+\alpha n+\beta)\) と、最初に与えられた漸化式が一致するということを考えればよく、単元学習で言えば「恒等式」としての処理をすることになります。

解答を見れば分かると思いますが、記述のスペース的には、路線その2の方が短く簡単に見えます。

ただ、路線その1の「番号上げて(下げて)辺々操作」についても、それが効いてくる問題などもありますから、両方インストールしておきましょう。

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