実践演習 数列系

漸化式と群数列の融合【2019年度 名古屋市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

得体のしれない漸化式による数列に関して色々考察させる問題です。

本問はその場で考えたり判断する力(その場力)と、それに基づいて立式したものを処理する基礎の運用力のバランスが個人的に素晴らしいと思います。

この問題そのものが今後まんま出題されることを期待はしてはいけませんが、この問題を通じて得られるものが今後の糧となることは十分にあり、演習問題として良問です。

(以下ネタバレ注意)

 

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得体のしれない漸化式

よく分からない漸化式ですから、ひとまず実験して様子を掴むところから始めます。

具体的に初項から書き出してみると

\(1 \ , \ 0 \ , \ 2 \ , \ 1 \ , \ 0 \ , \ 5 \ , \ 4 \ , \ 3 \ , \ 2 \ , \ 1 \ , \ 0 \ , \ 11 \ , \ 10 \ \cdots\)

というように、\(0\) になったタイミングで \(a_{n+1}=n\) の分岐が発動し、「再浮上」するといった感じのイメージです。

どのタイミングで再浮上するかを捉える

気になるのは再浮上するタイミングです。

それをとらえるために、群数列の考え方を導入します。

といった具合に区切り、第1群、第2群 \(\cdots\) と呼ぶことにします。

ここからが頭を使う部分です。

この「再浮上」した数、すなわち各群の先頭の数は

\(a_{n+1}=n\)

という式によって再浮上した数です。

この \(n\) という数字ですが、これは、\(a_{1}\) から \(a_{n}\) までの「個数」です。

こう捉えると

という規則性が見えてきます。

そうなってくると、初項から第 \(k\) 群の末項までの個数を \(b_{k}\) などと設定したくなります。

この \(b_{k}\) が求まれば、どこで再浮上するか、すなわちどこで群が切り替わるかについてを把握することができます。

というイメージがもてれば

\(b_{k+1}=b_{k}+(b_{k}+1)\)

すなわち

\(b_{k+1}=2b_{k}+1\)

という定番中の定番である漸化式が登場し、この漸化式から \(b_{k}\) を求めることができます。

結局

これにより、

  • 各群の末項までの項数
  • 各群の先頭の数

が Get できたことになります。

そうなってくると、ここから先は群数列の基本的な運用となります。

群数列の考え方の基本や、運用については

参考群数列の基本と運用【良問集合】【2002年度 山形大学ほか】

問題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題3はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 群 ...

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