実践演習 方程式・不等式・関数系

図形量の最大最小【正三角形の第1象限の部分の面積の最大最小】【2001年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

シンプルな問題です。

しかし、やってみれば分かると思いますが、結構スタミナが必要です。

解き終わった感想としては、

決して特別な難問ではないけど、差がつくだろうな

と感じました。

まずは自力で行ける部分まで考えてみましょう。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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まずは変数の設定ですが、回転を扱うので、素直に角度 \(\theta\) を導入します。

\(\theta\) の範囲は回転対称性から \(0^{ \circ }\leq \theta \leq 120^{ \circ }\)  で考えれば十分です。

また、この題意の面積は

というように四角形となる場合と、三角形となる場合があります。

つまり場合分けが発生します。

ぶっちゃけて言うと、

「面積の式を立てて、その式から最大最小を求める」

という方針面は困ることはありません。

愚直にゴリゴリやるのもよいですが、少しでも工夫の余地がないかということや、手際よく処理する方法を模索しようとする姿勢はもっていましょう。
(見つからなかったらしょうがない、ゴリゴリやりましょう)

私が解いたときは

「どちらのケースにせよ、直線AB や AC の \(x\) 切片や \(y\) 切片が必要だから、先回りしてそれらを求めておこう」

と思って処理をしていきました。

それ以上決定的に楽になる何かが見つからなかったため、「しょうがない、ここから先は愚直にやるか」とゴリゴリ進めていきました。

スタミナをつけるという点で本問はいい訓練でしょう。

途中現れる三角関数の式変形の扱いについても勉強になると思います。

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