実践演習 方程式・不等式・関数系

放物線上の3点による正三角形【座標平面における角度の扱い】【2004年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

2004年度の東京大学理系第1問です。

本問は見た目からするとシンプルな問題なのですが、意外と手こずる相手です。

厄介なことに、ある程度の部分まではスイスイと手が動いていくので、逃げなければいけない問題にも見えず、深追いして時間だけを失いかねない恐ろしさもあります。

実際第1問という位置取りも相まってか、本問に時間をかけすぎて全体の時間配分が狂ってしまったという受験生も多く、沢山の受験生を翻弄した問題として有名です。

(以下ネタバレ注意)

 

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\(P\) \((p \ , \ p^{2})\) ,  \(Q\) \((q \ , \ q^{2})\)  とおくと、直線 \(PQ\) の傾きは \(p+q\) と表せることから、条件を考えると

\(p+q=\sqrt{2}\)

ということはすぐに得られると思います。

一辺の長さを \(PQ\) で考えようと思うのが普通なので、先ほどの \(p+q=\sqrt{2}\) を利用しながら\(PQ^{2}\) を計算してみると

\(PQ^{2}=3 (p-q)^{2}\)を得ることになります。

目につくのは対称式ということで、\(p+q\) という基本対称式の情報は手元にあるわけですから、残る \(pq\) という基本対称式が分かれば解決ということになるでしょう。

この後はまだ手を付けていない点 \(R\) について考えていくことになります。

本問は様々な別解が考えられますが、放物線と正三角形の扱いをどのような順番で処理するかということが明暗を分けます。

放物線上にあるということの翻訳は

\(P\) \((p \ , \ p^{2})\) ,  \(Q\) \((q \ , \ q^{2})\) ,  \(R\) \((r \ , \ r^{2})\)

とおくことですぐさま翻訳ができるわけです。

一方で、\(\triangle PQR\) が正三角形であるということの翻訳については様々あり、ここが一番山場となります。

結果的に本問は

まず、\(P\) \((p \ , \ p^{2})\) ,  \(Q\) \((q \ , \ q^{2})\) に対して、正三角形の第3の頂点 \(R\) を求めてから、それが放物線上にある

とやるのが良いと言えるかもしれません。

これを先に放物線上にある翻訳をして

\(P\) \((p \ , \ p^{2})\) ,  \(Q\) \((q \ , \ q^{2})\) ,  \(R\) \((r \ , \ r^{2})\) とおいてから、それが正三角形となっている

という順番で処理しようとするのは大変になると思います。

文字を増やしてから大変な正三角形の翻訳に突入すると大変になるということですね。

用意した解答については両方の方針で用意してあります。

また、正三角形であることの翻訳についても複数用意しました。

解答はコチラ

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