実践演習 方程式・不等式・関数系

従属2変数関数の最大最小【2018年度 福島大学】【2016年度 立命館大学】

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2変数関数の最大最小問題で、本問のように「それ自身が問題」ということもあれば、「問題を解く中で処理する必要がある」場面もあるでしょう。

そういった意味で、最大最小問題についての基本的な方針は身につけておく必要があります。

今回は従属2変数関数の最大最小問題について見ていきます。

(1) で通用する態度が (2) で通用しないと思いますので、そのあたりをどう乗り越えるかを考えてみましょう。

 

(以下ネタバレ注意)

 

 

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従属2変数関数の最大最小問題の有力方針

方針1:文字消去

方針2:逆像法(実数解条件や線形計画法など)

方針3:絶対不等式の活用

基本的な戦略として、文字消去できるときは文字消去を狙っていくのが普通です。

その際に注意したい点は

遺産の整理

です。

文字は消えてお亡くなりになりますが、生前もっていた条件を生き残る文字に引き継がせないといけません。

例えば、本問の(1)では \(y^{2}=\displaystyle \frac{1-x^{2}}{2}\) として、\(y^{2}\) が消えますが、\(y^{2}\geq 0\)という条件があり、\(\displaystyle \frac{1-x^{2}}{2} \geq 0\)、すなわち\(-1 \leq x \leq 1\) と \(x\) に引き継がせます。

一方、(2)では簡単に文字消去できません。

そこで多方面にも応用が利く解法としては「逆像法」です。

しらみつぶしの考え方といってもいいでしょう。

\(xy=1\) になれる?

\(xy=2\) になれる?

\( \  \  \  \  \  \ \vdots\)

と調べていくイメージです。

もちろん本当に全部調べることはできませんが、文字の力を借りて

\(xy=k\) になれる?(なれるとしたらどんな \(k\)?)

ということを調べるのです。

逆像法は本問に限らず、様々な場面で登場する上級のトピックスといってよく、難関大学を目指すにあたって避けては通れないテーマです。

まずはこの逆像法の考え方について慣れることが大切ですので、本問を通じて考え方の下地を身に着けていただければと思います。

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