実践演習 方程式・不等式・関数系

多項式の剰余問題【重解型】【1997年度 文教大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

多項式を多項式で割ったときの余りについて考える問題で、話題としてはよくあるものです。

その中でも「重解型」という差が付くトピックスを取り上げます。

単元学習の段階ではラスボス的な位置づけの話題だと思います。

ただ、演習段階においては

経験で差が付く標準問題

という位置づけです。

序盤ラスボスと見せかけて、後々モブだったという意味で言えばドラクエⅥで言うムドーのようなものでしょう。

重解型は細かく言えば様々な解法がありますが、ここではよくある方法と、少し凝った方法という2通りの方法で解いてみます。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

\(x^{n}\) を \((x-2)(x-3)\) で割った商を \(A(x)\) とします。

2次式で割った余りは1次式、もしくは定数(高々1次という言い方をします)です。

そこで、求める余りを \(px+q\) と表します。

そうなると

\(x^{n}=(x-2)(x-3)A(x)+px+q\)

と表せます。

これに \(x=2 \ , \ 3\) を代入すると

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2p+q=2^{n} \\
3p+q=3^{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

を得ます。

これら \(p\) ,  \(q\)  についての連立方程式を解くと、

  • \(p=3^{n}-2^{n}\)
  • \(q=3 \cdot 2^{n}-2 \cdot 3^{n}\)

となりますから、求める余りは

\((3^{n}-2^{n})x+(3 \cdot 2^{n}-2 \cdot 3^{n})\)

となります。

(2) について

今度は4次式で割った余りなので、高々3次です。

方針1

余りを

\(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)

と設定します。

\(x^{n}\) を \((x-1)^{4}\) で割った商を \(Q(x)\) とすると

\(x^{n}=(x-1)^{4}Q(x)+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)

という関係式が得られます。

(1) は未知数の個数に対して、条件式の個数も足りていたのですが、今回は \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\)  という未知数4個に対して、代入できるのは \(x=1\) しかありません。

数学Ⅲを学習していれば、この打開策として

  • 両辺を微分する

という作戦が有名な打開策となります。

これについては経験による裏打ちがないと厳しい類の路線です。

この方針の解答が【解1】です。

方針2

先にネタバレしてしまいます。

\(x^{n}=\{(x-1)+1\}^{n}\) と見て二項定理をかますと

\(1+{}_n \mathrm{ C }_{1} (x-1)^{1}+{}_n \mathrm{ C }_{2}(x-1)^{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}(x-1)^{3}+(x-1)^{4}Q(x)\)

という形となり、\(R(x)\) は

\(R(x)=1+{}_n \mathrm{ C }_{1} (x-1)^{1}+{}_n \mathrm{ C }_{2}(x-1)^{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}(x-1)^{3}\)

と分かり、

\(R(2)=1+{}_n \mathrm{ C }_{1} +{}_n \mathrm{ C }_{2}+{}_n \mathrm{ C }_{3}\)

と即終わります。

この路線は「基底の変換」という話となり、【解2】で触れてあります。

解答はコチラ

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