実践演習 数列系

和から一般項【1977年度 徳島大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

和の情報から一般項の情報に辿り着く

「和から一般項」

という話題です。

本問は1960年に当時高校生であった鹿野健氏が新作し、雑誌のコンテストで入賞したことで、後に様々な大学で出題されるようになったとのことです。

見た目の簡潔さ、教育的な内容、適度な難易度、といったバランスがよく、演習題材としてはとてもよい題材です。

(以下ネタバレ注意)

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

(1) について

和から一般項

\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}\) というように \(S_{n}\) を定めるとき、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \ (n \geq 2) \\
a_{1}=S_{1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という関係式を用いていきます。

\(n \geq 2\) のとき

\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) を、条件である

\(S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}(a_{n}+\displaystyle \frac{1}{a_{n}})\)

に代入すると

\(S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}\{(S_{n}-S_{n-1})+\displaystyle \frac{1}{S_{n}-S_{n-1}}\}\)

ということになり、\(S_{n}\) と \(S_{n-1}\) の関係式が得られます。

これを整理すると

\({S_{n}}^{2}={S_{n-1}}^{2}+1\)

と、

数列 \(\{{S_{n}}^{2}\}\) が等差数列

という結果が得られます。

ここで、\({S_{1}}^{2}\) が必要になります。

\(n=1\) のとき

\(a_{1}=S_{1}\) ですから

\(S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}(S_{1}+\displaystyle \frac{1}{S_{1}})\)

ということになり、ここから、

\({S_{1}}^{2}=1\)

を得ます。

先ほどの

\({S_{n}}^{2}={S_{n-1}}^{2}+1\)

という関係式より

数列 \(\{{S_{n}}^{2}\}\) が初項 \(1\) ,  公差 \(1\) の等差数列

ということですから

\({S_{n}}^{2}=n\)

を得ます。

今回の数列 \(\{a_{n}\}\) は正の項からなる数列で、当然その和も正となりますから

\(S_{n}=\sqrt{n}\)

となるため、一般項 \(a_{n}\) は

\(a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

と得ることができます。

ちなみにこれは \(n=1\) のときも成立します。

(2) について

\(a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

という一般項が得られているのであれば、内容としては基本的な極限計算の問題ということになります。

この極限は、手なりに

$$\begin{eqnarray}
a_{n} &=& \displaystyle \frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}
\end{eqnarray}$$

と、分子の有理化をして捌くという基本中の基本問題です。

解答はコチラ

-実践演習, 数列系
-,

© 2022 MathClinic