実践演習 数列系

分数関数の合成とフィボナッチ数列【2015年度 藤田保健衛生大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

\(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) という分数関数を合成していく関数列について考える問題です。

1次分数関数を合成した結果も1次分数関数になるわけですが、本問はその中でも

  • \(f_{1}=f_{2}=1\)
  • \(f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\)

というフィボナッチ数列が登場するという点で面白さがあります。

本当は (2) の設問をカットしようかとも思いましたが、ひとまずは原題に近い形にしておきました。

原題は

数列 \(\{p_{n}\}\) を \(p_{1}=p_{2}=1\) , \(p_{n+2}=p_{n+1}+p_{n}\) で定義する。

\(F_{n}(x)=\displaystyle \frac {a_{n}x+b_{n}}{c_{n}x+d_{n}}\) としたとき、\(n\geq 2\) に対して、

\(a_{n}\) , \(b_{n}\) , \(c_{n}\) , \(d_{n}\)

を 数列 \(\{p_{n}\}\) を用いて表せ。

というものでした。(本問は穴埋めでした。)

あと、フィボナッチ数列を \(\{p_{n}\}\) と呼んでいました。

誘導があれば、本問は標準的な問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

\(F_{3}(x)\) という具体的なものを求めさせる実験設問です。

ひとまず実験して、この関数列がどのような要領で求まっていくかを体感しなさいということでしょう。

なお、ここで計算ミスをすると、この後の一般論を予想する際に見えるものが見えなくなりかねないので注意しましょう。

\(F_{2}(x)=\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac {1}{1+x}}=\displaystyle \frac{1+x}{2+x}\)

\(F_{3}(x)=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1+x}{2+x}}=\displaystyle \frac{2+x}{3+2x}\)

となります。

(2) について

\(F_{2}(x)\) の導出過程の観察

例えば

\(F_{2}(x)=\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac {1}{1+x}}=\displaystyle \frac{1+x}{2+x}\)

の分母の \(2+x\) はどうやって出てきたかと言うと

\(1+(1+x)\)

として出てきました。

分子は \(\displaystyle \frac {1}{1+x}\) の分母の \(1+x\) がそのまま分子にきています。

\(F_{3}(x)\) の導出過程の観察

\(F_{3}(x)=\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1+x}{2+x}}=\displaystyle \frac{2+x}{3+2x}\)

の分母の \(3+2x\) についても

\((1+x)+(2+x)\)

として出てきています。

分子は \(\displaystyle \frac{1+x}{2+x}\) の分母の \(2+x\) がそのまま分子に来ています。

一般的に

\(\displaystyle \frac {1}{1+\displaystyle \frac {ax+b}{cx+d}}\) を整理した際の分母は

\((ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d)\)

\(\displaystyle \frac {1}{1+\displaystyle \frac {ax+b}{cx+d}}\) を整理した際の分子は

\(cx+d\)

と見て

\(\displaystyle \frac {1}{1+\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}=\displaystyle \frac{cx+d}{(a+c)x+(b+d)}\)

となります。

「そりゃ、フィボナッチ数列が絡んでくるわ」

という感覚になってくるでしょう。

本問においては

\(F_{n}(x)=\displaystyle \frac{f_{n}+f_{n-1}x}{f_{n+1}+f_{n}x}\)

と予想できます。

予想さえできればこっちのもので、フィボナッチ数列の漸化式が手元にあり、 \(F_{n}(x)\) と \(F_{n+1}(x)\) の関係式

\(F_{n+1}(x)=\displaystyle \frac{1}{1+F_{n}(x)}\)

という漸化式も手元にありますから、上記予想を裏付けるための最有力候補は「数学的帰納法」ということになります。

(3) について

\(F_{n}(0)\) は

\(F_{n}(0)=\displaystyle \frac{f_{n}}{f_{n+1}}\)

なので、題意の \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_{n}(0)\) は

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{f_{n}}{f_{n+1}}\)

を求めればよいことになります。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_{n}}=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

というように、\(\displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_{n}}\) の極限が黄金比 \(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) に収束するというのは有名事実ですが、

さすがに、自明のものとして話を進めていくわけにもいかないでしょう。

【解答】では、きちんと一般項 \(f_{n}\) を導出して比をとって極限を考えました。

なお、原題は

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_{n}}\) が収束することを用いて\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_{n}(0)\) の値を求めよ。

というものでした。

(繰り返しになりますが原題ではフィボナッチ数列を \(\{p_{n}\}\) と呼んでいました。)

原題の出題だったら

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_{n}}\) が収束する

ということを認めてよいならば

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{f_{n+1}}{f_{n}}=\alpha\)

とおいてしまいます。

\(f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\) の両辺を \(f_{n+1}\) で割ると

\(\displaystyle \frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}=1+\displaystyle \frac{f_{n}}{f_{n+1}}\)

であり、両辺極限をとると

\(\alpha=1+\displaystyle \frac{1}{\alpha}\)

を得ます。

これを整理すれば

\(\alpha^{2}-\alpha-1=0\)

となり、\(\alpha \gt 0\) であることを考えると

\(\alpha=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

を得ます。

余談

今回は \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) という分数関数の合成について考えましたが、

実は

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}\)

という分数関数の合成についても有名な面白い性質があります。

それについては【総括】のあとの【余談】で少し触れてあります。

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