実践演習 極限・微分積分系

空間座標における回転体の体積【円錐の回転体の体積とその工夫】【2017年度 東京大学】

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(1) は難関大志望者であれば、特に手が止まることはないでしょう。

点 \(P\) の軌跡が円となることも容易に把握できると思います。

問題は (2) です。

点 \(Q\) が \(OQ=1\) を満たしながら、平面 \(x=0\) を動くということは, 点 \(Q\) は原点 \(O\) を中心として平面 \(x=0\) で回転しています。

線分 \(OP\) とはいわば円錐の「母線」です。

点 \(Q\)  の回転に伴ってこの母線の集合体である円錐面も回転をしますから、結局今回の \(K\) とは円錐の回転体です。

このように東大では「一見回転体に見えないが、実は回転体である」という体積問題がしばしば見受けられます。

(以下ネタバレ注意)

 

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一般に

立体の回転体の扱い方

  • 全体像を捨てろ
  • 切ってから回せ(先に回すな)
  • 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える

というのが基本です。

円錐をぶん回してどんな立体になるかは想像がつかないですし、想像がついたとて何か手が進むわけではありません。

先に回してしまうと全体像が分からなくなりますから、切ってから回すのです。

切ってから回そうが、回してから切ろうが、立体 \(K\) の断面は同じです。

セオリー通りに回転軸に垂直に切ると、切り口は双曲線です。
(2次曲線が別名 "円錐曲線 " と呼ばれることからも分かるように、円錐を切った切り口は放物線、楕円、双曲線のいずれかになります。)

この後は立体の回転体というテーマをきちんと勉強していれば、やることは明確です。

ただし、完答できるかどうかは計算に耐えられるかにかかってきます。

実は立体の回転体の中でも、円錐の回転体は " 工夫の余地 " があるテーマです。

差が付く

円錐の回転体では母線を集めて回転

この態度で計算量がかなり軽減されます。

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