実践演習 方程式・不等式・関数系

円に内接する正方形の頂点を通る3次曲線【対称性を活用する】【1991年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

一般性が高い設定のため、文字数が多く、処理をうまくやらないとグチャグチャになってしまいます。

一方で対称性も高い設定ですから、それを活かす方向で処理していくことを考えます。

この対称性をうまく利用しないと、文字の多さだけが残ってしまうという最悪の結果となってしまいます。

対称性を意識しなくても

「あぁ、よくよく考えれば対称性があるな。この結果はそりゃそうか。」

という部分もありますが、意識して処理しないと、処理量が膨らむという要素も含んでいます。

 

(以下ネタバレ注意)

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

まずは \(a \gt 0\) で考えたいところです。

という状況なのですが、\(a \lt 0\) の場合は \(y\) 軸に関して対称移動させれば得られることから、\(a \gt 0\) の場合に集中すればよいことになるでしょう。

まずはこれで労力が半減します。

そして、\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) は今回奇関数となっていることは予想がつきます。

それだけで、\(b=0\) ,  \(d=0\)  となり文字が減ります。

ただ、それを自明のものとしてよいかは微妙なので、ある程度は式として明示するべきでしょう。

結局 \(f(x)=ax^{3}+cx\) で考えればよいわけですが、最終的に言うべきことと言えば

  • \(P_{1}\) が \(y=f(x)\) 上
  • \(P_{4}\) が \(y=f(x)\) 上
  • \(P_{1}\) ,  \(P_{4}\)  が \(x^{2}+y^{2}=1\) 上
  • \(P_{4}\) で \(y=f(x)\) と \(x^{2}+y^{2}=1\) が接している

が言えればよく、要するに

対称性を活用

右半分で処理すれば十分

ということです。

解答はコチラ

-実践演習, 方程式・不等式・関数系
-

© 2022 MathClinic