テーマ別演習 全称命題

全称命題 第5講【楕円についての論証】【1990年度 東京大学】

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全称命題シリーズ第5講です。

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全称命題 第1講【恒等式として等号が成立するための条件】【1990年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...

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全称命題 第2講【一般項と漸化式】【1986年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第2講です。 シリーズ一覧はこちら   全称命題についての対応は第1講で学びました。 全称命題特有の処理を施すわけですが、その後については「分野」ごとの常識力が問われる問題に帰着します。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 全ての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) を割り切る素数を探すので、 \(a_{1}\) も割り切る必要があるよね? という屁理屈 ...

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全称命題 第3講【整数問題】【一般項か漸化式どちらを扱うか】【1997年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第3講です。 シリーズ一覧はこちら   今回は整数分野の全称命題を扱います。 必要条件を言う部分で整数問題としての処理が求められるでしょう。 その後の十分性の確認では第2講の内容が存分に現れるので、前回の内容の確認もできると思います。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む \(a_{n}=5^{n}+an+b\) とおきます。 全称命題と捉えて \(a_ ...

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全称命題 第4講【整数問題の基本手法の運用に帰着】【1991年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第4講です。 シリーズ一覧はこちら 今回は第3講に引き続き整数問題に関する全称命題です。 全称命題に関する基本的な対応については第1講で扱っていますが、今一度ここでも確認します。 step1全称命題だと見抜く 「任意の」「どんな」「全ての」\(\cdots\) という類の言葉は発見のシグナルです。 step2「じゃあ \(\cdots\)」と屁理屈(考えやすい簡単なケース)を言って答えの候補(必要条件)を出す。 ...

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全称命題 第5講【楕円についての論証】【1990年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第5講です。 シリーズ一覧はこちら     そもそも、今は「全称命題」というシリーズとしての問題としてこの問題と向き合っているから頭が全称命題モードになっていて、屁理屈を言おうと思えるかもしれません。 しかし実際試験場では何が出題されるか分かりません。 色々な問題に紛れてポンとおいてあったときに、冷静に全称命題だと見抜いて必要条件を出せるのかといった難しさがあると思います。 分野的にも整数や数 ...

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そもそも、今は「全称命題」というシリーズとしての問題としてこの問題と向き合っているから頭が全称命題モードになっていて、屁理屈を言おうと思えるかもしれません。

しかし実際試験場では何が出題されるか分かりません。

色々な問題に紛れてポンとおいてあったときに、冷静に全称命題だと見抜いて必要条件を出せるのかといった難しさがあると思います。

分野的にも整数や数列などは全称命題を意識しやすい分野ですが、本問のような図形に関する全称命題は意識しづらいかもしれません。

さらに前回までは必要条件を出すときの屁理屈はある意味分かりやすかったと思います。

整数や数列などで「簡単なもの」と言えば、\(n=1\) や \(n=2\) といった分かりやすいものなのですが、本問は図形的な問題についてなので、分野的に屁理屈が出しにくいかもしれません。

(以下ネタバレ注意)

 

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全称命題と捉えて屁理屈を言い、特殊なシチュエーションを考えます。

今回は屁理屈として

となっている必要があるじゃん。

ということが言えます。

つまり、\((1 \ , \ 1)\) が \(C_{1}\) 上にある必要がある

という屁理屈が言え、

\(\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\displaystyle \frac{1}{b^{2}}=1\)

が成り立っている必要があることが分かります。

これが言わば必要条件です。

この後、これが十分条件にもなっている証明に進んでいきますが、この十分性の証明についてはスタミナが必要です。

「結局何が証明されればよいのか」

ということに集中していないと、自分が今何をしているのか、何がしたいのかを見失い、迷子になりかねません。

落ち着いて、次に何が言えればよいのかということを適宜チェックしながら進めていってください。

余談ですが、本問の背景には「ポンスレの閉形定理」というものがあります。
(別に入試的には覚える必要はありません)

そちらの要素が全面的に出ている問題については

こちらもCHECK

ポンスレの閉形定理【放物線上の3点によってできる三角形の内接円】【1988年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     問題を読んでみると、「えっ、マジ?」と言いたくなる結果です。 まぁそれもそのはずで、「ポンスレの閉形定理」と ...

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で取り扱っており、また別の勉強になると思います。

1990年度は東大の歴代前期試験の中でもかなり凶悪な難易度を誇った年です。

ギブアップしてしまったとしても、自信を失う必要はありません。

ただ、得られるものは多い良問ではあるので、ぜひ多くのものを吸収して今後の糧にしてもらえたらと思います。

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