テーマ別演習 全称命題

全称命題 第4講【整数問題の基本手法の運用に帰着】【1991年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

全称命題シリーズ第4講です。

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全称命題 第1講【恒等式として等号が成立するための条件】【1990年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...

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全称命題 第2講【一般項と漸化式】【1986年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第2講です。 シリーズ一覧はこちら   全称命題についての対応は第1講で学びました。 全称命題特有の処理を施すわけですが、その後については「分野」ごとの常識力が問われる問題に帰着します。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 全ての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) を割り切る素数を探すので、 \(a_{1}\) も割り切る必要があるよね? という屁理屈 ...

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全称命題 第3講【整数問題】【一般項か漸化式どちらを扱うか】【1997年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第3講です。 シリーズ一覧はこちら   今回は整数分野の全称命題を扱います。 必要条件を言う部分で整数問題としての処理が求められるでしょう。 その後の十分性の確認では第2講の内容が存分に現れるので、前回の内容の確認もできると思います。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む \(a_{n}=5^{n}+an+b\) とおきます。 全称命題と捉えて \(a_ ...

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全称命題 第4講【整数問題の基本手法の運用に帰着】【1991年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第4講です。 シリーズ一覧はこちら 今回は第3講に引き続き整数問題に関する全称命題です。 全称命題に関する基本的な対応については第1講で扱っていますが、今一度ここでも確認します。 step1全称命題だと見抜く 「任意の」「どんな」「全ての」\(\cdots\) という類の言葉は発見のシグナルです。 step2「じゃあ \(\cdots\)」と屁理屈(考えやすい簡単なケース)を言って答えの候補(必要条件)を出す。 ...

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全称命題 第5講【楕円についての論証】【1990年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第5講です。 シリーズ一覧はこちら     そもそも、今は「全称命題」というシリーズとしての問題としてこの問題と向き合っているから頭が全称命題モードになっていて、屁理屈を言おうと思えるかもしれません。 しかし実際試験場では何が出題されるか分かりません。 色々な問題に紛れてポンとおいてあったときに、冷静に全称命題だと見抜いて必要条件を出せるのかといった難しさがあると思います。 分野的にも整数や数 ...

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今回は第3講に引き続き整数問題に関する全称命題です。

全称命題に関する基本的な対応については第1講で扱っていますが、今一度ここでも確認します。

step
1
全称命題だと見抜く

「任意の」「どんな」「全ての」\(\cdots\) という類の言葉は発見のシグナルです。

step
2
じゃあ \(\cdots\)」と屁理屈(考えやすい簡単なケース)を言って答えの候補(必要条件)を出す。

「答えがあるとしたら可能性はもうこれしかないじゃん(保証はないけど)」というニュアンスです。

step
3
step 2 で出した条件や値が元々の題意を満たしているかどうかを確認する。

十分性の確認をして初めて答えとしての資格を得ます。

 

前回から徐々にこの「必要条件」を得る部分までの道のりが険しくなっています。

今回も屁理屈は言ってみるものの、整数問題の常識力がないと \(a\) , \(b\) の候補まで辿り着けないかもしれません。

整数問題の基本については以下に折りたたんでおきますので、基礎を確認したい方は「+マーク」をクリック(タップ)して確認してください。

 

+ クリック(タップ)して基本を確認する

積の形から約数の拾い上げ

例題:\(x ,  y\) は自然数とする。\(xy+2x+3y=6\)  となる \(x ,  y\) の値の組を全て求めよ。

解答例

与えられた方程式は \((x+3)(y+2)=12\) と変形できる。

\(x+3 , \ y+2\)  はともに自然数なので

\((x+3 ,  \ y+2)=(1, 12) \ (2 , 6) \ (3 , 4) \ (4 , 3) \ (6 , 2) \ (12 , 1)\)

よって ,  \((x , \ y)=(-2 , 10) \ (-1 , 4) \ (0 ,  2) \ (1 , 1) \ (3 , 0) \ (9 , -1)\)

このうち、\(x , \ y\) がともに自然数である組は

$$(x , \ y)=(1 , \ 1)$$

実際にはもう少し手際よく絞れたりしますが、このように積の形を無理やり作って \(12\) の約数を拾い上げていきます。

整数問題の中でもかなり頻出な考え方です。

余りで分類

例題:\(m\) を整数として、平方数 \(m^2\) を \(3\) で割った余りは \(2\) とならないことを示せ。

解答例

以下 , \(k\) は整数とする。

\(<1> \  \ m=3k\)  のとき

\(m^2=9k^2\)  で , \(m^2\) を \(3\) で割った余りは \(0\)

\(<2> \  \ m=3k\pm 1\)   のとき

\(m^2=9k^2\pm6k+1=3 \ (3k^2\pm2k)+1\)  で , \(m^2\) を \(3\) で割った余りは \(1\)

よって、平方数 \(m^2\) を \(3\) で割った余りは \(0\) または \(1\) に限られ、題意は示された。

今回の例題の場合、世の中の整数を \(3\) で割った余りで分類しました。

\(3k\) ,  \(3k+1\) ,  \(3k+2\)  と分類してもよいのですが、\(3\) で割って \(2\) 余る数というのは

「 \(3\) の倍数から見て \(1\) 足りない数」

ということもできるため、余り \(1\) のときと、余り \(2\) のときを合わせて

\(m=3k\pm 1\)   のとき

としてやるという工夫もよくやります。

また、「何で割った余りに注目するか」ということもレベルが高くなってくると大事になってきます。

評価する(範囲を絞る)

例題:\(xyz=x+y+z\) を満たす自然数 \((x , \ y , \ z)\) の組を全て求めよ。

解答例

問題の対称性からひとまず \(x \leq y \leq z\) として考える。

このとき , \(x+y+z \leq z+z+z\) であり , 条件から , \(xyz \leq 3z\)

すなわち , \(xy \leq 3\)

これより ,  \((x , \ y)=(1 ,  \ 1) , \ \ (1 , \ 2) ,  \ \ (1 , \ 3) \)

\(<1>  (x , \ y)=(1 ,  \ 1)\) のとき

与えられた条件式から , \(z=2+z\) でこれを満たす \(z\) は存在しない。

\(<2>  (x , \ y)=(1 ,  \ 2)\) のとき

与えられた条件式から , \(2z=3+z\) で ,  \(z=3\) を得る。
(これは \(x \leq y \leq z\) を満たす。)

\(<3>  (x , \ y)=(1 ,  \ 3)\) のとき

与えられた条件式から , \(3z=4+z\) で ,  \(z=2\) を得る。
(これは \(x \leq y \leq z\) を満たさない。)

以上 \(<1>\) , \(<2>\) , \(<3>\) から

\((x , \ y , \ z)=(1 , \ 2 , \ 3)\)

実際には  \(x \leq y \leq z\)  という制限はないので

\((x , \ y , \ z)=(1 , \ 2 , \ 3) , \ \ (1 , \ 3 , \ 2) , \ \ (2 , \ 1 , \ 3) , \ \ (2 , \ 3 , \ 1) , \ \ (3 , \ 1 , \ 2) , \ \ (3 , \ 2 , \ 1)\)

まず今回の数たちというのはそんなに大きくないだろうことが予測されます。

普通は (積)\( \gt \)(和)  にも関わらず、積と和が等しいと言っているのですから。

そして、今回の問題には「対称性」があります。

なので、いったん \(x \leq y \leq z\) という区別をつけて考えることで範囲を絞り込み、\((x , \ y , \ z)\) の組が出てきたら、その大小関係を外して答えとします。

変数が3文字以上になると、このように等式を諦めて不等式をつないでいくことが多くなると思います。

特に対称性がある整数問題ではそれを見落とさないようにしましょう。

 

また、実践的な問題で場数を踏みたいという方は以下の

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問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   約数を拾うタイプの問題で、定番の問題に見える一方、解き進めていくと、本問がもつ個性に注目して解き進める必要性も出てくるため、非常にいい問題です。様々な解法も考えられるため、教材として採用したくなりますし、実際様々な問題集などで採り上げられています。 問題自体は「積の形から約数拾い」という方針が目につく形です。 最初の一手である因数分解は恐らくすぐに気が付けると思います。 \(a(a-1)=2^{4}5^{4}M\) という形を得 ...

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整数問題【評価の工夫】【行き詰まったときのリカバリー】【2007年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   パッと見の見た目としては「例題チック」な印象を受けます。 ある程度の演習をこなして、色々な「凝った問題」に触れてきた人からすると、本問の見た目は「そそる」ようなものではないかもしれません。 実際 (1) はテンプレ的な問題です。 ただ、(2) は結構難しいと思います。 閃き一発系の方針もあれば、愚直に前進していくルートもあります。 そういった意味で、勉強にはなると思いますし、得られるものもあると思います。 ぜひ一度考えてみてくだ ...

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ピタゴラス数 第1講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの2つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら   今回は第1講ということで ...

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などが各タイプの代表的な考え方を含む問題ですので、適宜ご利用ください。

(以下ネタバレ注意)

 

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まずは \(n=1\) のとき \(f(1)=a+b\) が整数となる必要があります。

\(a\) , \(b\) の範囲的に \(a+b=1\) または \(2\) ということになります。

\(a+b=2\) のときは範囲的に \(a=b=1\) となるしかなく、特定されますが、\(a+b=1\) のときは \(a\) , \(b\) が有理数であるために特定できません。

そこでもういっちょ屁理屈を言って

\(f(2)=2(4a+b)\) が偶数となる必要があるよね

と進めていきます。

これが意味することは \(4a+b\) が整数であるということです。

範囲的には \(4a+b=1\), \(2\) , \(3\) となりますから

\(a+b=1\) と連立させて候補となる \(a\) , \(b\) を出していきます。

ここから先は十分性の確認となります。

その際には冒頭申したように、整数問題の基本的な態度が常識になっているかが問われます。

前回も同じことを言いましたが、全称命題である部分をクリアーすれば、あとはその分野の常識力の勝負です。

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