仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~n進法の有限小数~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は整数に関する問題です。

\(n\) 進法に関する基本的理解について真正面から問いかける内容です。

(以下ネタバレ注意)

 

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位取り記数法について

普段我々が日常使っている 10 進法というのは、10 種類の記号を使って数を表します。

例えば、〇(リンゴ)が何個あるか数えてみます。

  • 〇 \(\cdots\) 1個
  • 〇〇\(\cdots\) 2個
  • 〇〇〇\(\cdots\) 3個
  • 〇〇〇〇\(\cdots\) 4個
  • 〇〇〇〇〇\(\cdots\) 5個
  • 〇〇〇〇〇〇\(\cdots\) 6個
  • 〇〇〇〇〇〇〇\(\cdots\) 7個
  • 〇〇〇〇〇〇〇〇\(\cdots\) 8個
  • 〇〇〇〇〇〇〇〇〇\(\cdots\) 9個
  • 〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇\(\cdots\) 記号が足りない
    →10個(桁という概念を導入する)

このように、桁という概念を導入することで

  • 有限種類の記号しかない中で、無限にある沢山の数を数える

ということが可能になるわけです。

カッコつけて言えば、この方法を位取り記数法と言います。

例えば \(245.87\) は

\(2 \cdot 10^{2}+4 \cdot 10^{1}+5 \cdot 10^{0}+8 \cdot 10^{-1}+7 \cdot 10^{-2}\)

というように、\(10^{□}\) を用いて表せます。

なお、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 という種類の記号しかないのは、たまたま地球という星の人間という生命体として生まれたからで、どこか遥か彼方の文明のある星では用意した記号の量が異なるかもしれません。

例えば数を表す記号が0,1,2,3という記号しかない星(ナメック星とでも呼びます)の生命体(ナメック星人)は

  • 〇 \(\cdots\) 1個
  • 〇〇\(\cdots\) 2個
  • 〇〇〇\(\cdots\) 3個
  • 〇〇〇〇\(\cdots\)  記号が足りない
    →10個

と早くも桁を上げるわけで、

〇〇〇〇 さて、リンゴは何個あるでしょう?

という問いかけに対し、

  • 地球人は4個
  • ナメック星人は10個

と答えることになります。

注意

もちろん、今は地球人である皆さんに伝わるように0,1,2,3という記号を用いましたが、ナメック星人は

\(\varsigma\) ,  \(\xi\) ,  \(\varpi\) ,  \(\iota\)

という全然訳の分からない記号と読みを用いているかもしれません。

地球人の10とナメック星人の10は指している意味が違い、混乱が生じますから、ナメック星(4進法)における10は

\(10_{(4)}\)

と表します。

つまり、

\(10_{(4)}=4\)

ということです。

これは、

\(1 \cdot 4^{1}+0 \cdot 4^{0}=4\)

というように見えます。

これは、先ほど10進法で\(245.87\) が

\(2 \cdot 10^{2}+4 \cdot 10^{1}+5 \cdot 10^{0}+8 \cdot 10^{-1}+7 \cdot 10^{-2}\)

と表せると言いましたが、地球だけが特別というわけではないことを意味します。

つまり、ナメック星人が \(321.23\) を表現するときは

\(3 \cdot 4^{2}+2 \cdot 4^{1}+1 \cdot 4^{0}+2 \cdot 4^{-1}+3 \cdot 4^{-2}\)

と同じ要領で表し、むしろナメック星人はこちらを常識だとさえ思っているでしょう。

(1) について

\(\displaystyle \frac{1}{3}\) は 10 進法においては

\(0.3333 \cdots \)

という無限小数となります。

じゃあ何進法なら有限小数となるでしょうか、という問いです。

先述の内容から

  • \(\displaystyle \frac{1}{3}=1 \cdot 3^{-1}=0.1_{(3)}\)

と表せます。

同様に考えれば

\(\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{3}{9}\)

であるため、

\(0.1_{(3)}=0.2_{(6)}=0.3_{(9)}\)

ということが言えます。

つまり、3進法、6進法、9進法で、\(\displaystyle \frac{1}{3}\) が有限小数ということが言えるわけです。

(2) について

同様に考えれば、\(0.a_{(m)}=0.b_{(n)}\) とは

\(a \cdot m^{-1}=b \cdot n^{-1}\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{a}{m}=\displaystyle \frac{b}{n}\)

ということになります。

なので、これを関係性を満たす \((a \ , \ b \ , \ m \ , \ n)\) を探すことになります。

まとめ

\(n\) 進法に関する基本的理解について真正面から問いかける内容となっています。

きちんと理解している人からすれば難なく答えられますし、うわべの理解しかしていない人はアタフタすると思います。

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