仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~二項係数の問題~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

 

本問は東大がちょこちょこ出題する二項係数に関する問題を意識して作った問題です。

ちなみに東大における二項係数絡みの整数問題の出題は 2018 年度 ,  2015 年度 ,  2009 年度 ,  1999年度などにあります。

少し作為的な設定になってしまった部分はありますが、雰囲気は作れたかなと思います。

難易度は見かけよりずっと難しいと思います。

自分で作った後解いてみても、細かな抜けや、論述不足や変な勘違いが次々と出てきたりして、結構苦労しました。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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実験をして書き下してみると決め手は、\({}_{4n} \mathrm{ C }_{2n}\) を書き下したときの

分子と分母のもつ素因数 2 の個数

となるでしょう。

実際に書き下すと、分子は \(2^{n}\times\) (奇数) なので、分子がもつ素因数 2 の個数は \(n\) 個ということになります。

分母は \(n!\) となり、\(n!\) のもつ素因数 \(p\) の個数は

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}[\displaystyle\frac{n}{p^{k}}]=[\displaystyle\frac{n}{p}]+[\displaystyle\frac{n}{p^{2}}]+\cdots\cdots\)

であることは難関大志望者はぜひ常識にしておきましょう。

分母と分子の素因数 2 の個数の差が 0 個であれば  \({}_{4n} \mathrm{ C }_{2n}\)   は 2 で割り切れないということになりますし、分母と分子の素因数 2 の個数の差が 1 個であれば \({}_{4n} \mathrm{ C }_{2n}\)  は 2 で割り切れるけど 4 で割り切れないということになります。

今述べたことがそのまま目指すべき目標ということになるでしょう。

ここから分子の素因数 2 の個数と、分母の素因数 2 の個数の「差」を

\(f(n)=n-\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}[\displaystyle\frac{n}{2^{k}}]\)

と設定し、\(f(n)=0\) または \(1\) となるときを考えることになります。

\(f(n)\) を小さくしようと最善を尽くしてみてください。

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