仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【数列~非典型的な漸化式~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は漸化式です。

難関大志望者については、基本的な漸化式については対応できるよう準備してある必要があります。

その準備とは

その漸化式固有の式変形や対応を覚えておいて機械的に処理をする

という態度のものです。

これがいいか悪いかはおいておき、現実的に「知らなければこんな式変形できないよ」というのが多いことは事実です。

難関大志望者は、

\(a_{n+1}=2 a_{n}+1\)

という漸化式を、\(a_{n+1}+1=2 ( a_{n}+1 )\) と当たり前のように変形するでしょう。

しかし、初学者から見れば、これでさえ難問です。

経験がモノを言う分野であるがゆえ、基本的な形とその対応を覚えておいて、なぞっていくという訓練を積み重ねるうちに、いつしか

「漸化式は何かうまい変形があって処理できる形に帰着できるんだ」

などという誤解が生じてしまいます。

漸化式はむしろ解ける方が珍しいぐらいで、解けるものを選りすぐって与えられていたにすぎないということを認識してもらいたいと思います。

 

これを読んでくださっている受験生のあなたが、鬼のように訓練し、解ける形はもれなく解けるという状態に仕上げたとします。

にも拘らず、試験場で見たことのない漸化式に出会い、それを解けと言われたとしたら、にらめっこしてフリーズするのではなく、一番原始的な態度である「実験」を心がけましょう。

一周まわって、一番原始的な態度が一番パワフルだと気が付くはずです。

もちろん、

勉強不足によって式変形できないのか、人類レベルで式変形できないのか

によって話は変わってきますから、その判断をつけるためにも「できるものはできる」という状態を作っておく必要があるわけです。

 

本問は観察力や洞察力が必要になってくるでしょう。

仕掛けさえ見抜ければ大したことはないと思います。

カラクリ仕掛けのおもちゃが動き出すように話が進んでいきます。

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