実践演習 方程式・不等式・関数系

大小比較と不等式証明【下る方向へ帰納的に考える】【実験と予想】【1999年度 和歌山大学】

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\(3^3+4^3+5^3=6^3\) を満たしているので、(1) は (2) の具体例です。

つまり  \(n=3\) のときは   \(a^n+b^n+c^n=d^n\) だということが分かります。

(以下ネタバレ注意)

 

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当然じゃあ  \(n=1\) のときは?  \(n=2\) のときは?  \(n=4\) のときは?\(\cdots\)

という興味が湧きますから、調べていくと、結論の予想ができるでしょう。

その予想を裏付ける方法としては数学的帰納法が自然な選択でしょうか。

(2) は「 (1) でつかんだ要領で一般の場合も調べろ 」ということなのでしょう。

ただ、その (1) でつかんだ要領は \(n \geq 4\) のときには通用しますが、 \(n=1\) ,  \(n=2\) のときは通用しません。

(1) では具体的な数だったので  \(n=1\) ,  \(n=2\) のときは直接計算できてしまっていたからです。

普通は \(n\) が小さいときの方が簡単なのですが、本問は \(n\) が小さいほうがやりにくいですね。

ここを乗り切る工夫を考えてみてほしいと思います。

また、式の形からスパッと鮮やかに切る別解も考えられます。

ぜひここも考えてみてください。

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