実践演習 極限・微分積分系

下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積【1991年度 鹿児島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積についてのキレイな結論を証明する問題です。

\(f(x)\) が具体的に決まっていない抽象的な状態で話を進めていかなければならないため、差がつくでしょう。

この問題は、「知識や経験、勉強量」によるものではなく、単純に「頭の使い方」によって差がつくと思います。

  • 解けた人→「えっ?何が難しいの?」
  • 解けなくて解答を見た人→「なんでこれができなかったんだ?」

という感想が出てくるのではないかと思います。

試験場で落としたら悔しいと感じる類の問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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状況の把握

ひとまず状況を把握するために、軽く図示してみると

というイメージです。

「\(f(x)\) が下に凸である」という条件から、区間 \(a \leq x \leq b\) においては、直線 \(l\) は \(y=f(x)\) の上側に存在します。

補足:下に凸の意味

曲線上の任意の2点をとって結んだ線分より「下に膨らんでいる」とき、その曲線は下に凸と呼ばれます。

直線の方程式の立式

面積計算するにあたり、直線 \(l\) の方程式を求めにいきます。

直線 \(l\) は

  • 傾き:\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
  • 通過点:\((a \ , \ f(a))\)

であることから

\(y=\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\)

ということになります。

面積の立式

今回考える部分の面積 \(S\) は

\(S=\displaystyle \int_{a}^{b}\{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)-f(x)\} dx\)

となります。

この時点で結構いかつい形をしていますが、結局は

\(\displaystyle \int_{a}^{b}\{(定数)(x-a)+(定数)-f(x)\}dx\)

という形なので、「どうやって積分するの?」という部分では困らないはずです。

見た目のいかつさにビビらずにこの積分計算を進めていくと、約分などで消える部分は消え、思っているよりもメチャクチャな式にはなりません。

詳しい計算過程は【解答】で確認してください。

結果は

\(S=\displaystyle \frac{1}{2}(b-a)\{f(a)+f(b)\}-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) dx\)

となります。

\(f(x)\) が具体的に与えられていない以上、これをほぐすのは限界です。

逆から攻める

今回の問題は幸いなことに「証明形式」での出題です。

そこで、示すべき結論の右辺

\(\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \int_{a}^{b}(x-a)(b-x)f''(x) dx\)

を変形して、先ほどの

\(\displaystyle \frac{1}{2}(b-a)\{f(a)+f(b)\}-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x) dx\)

となることを目指します。

部分積分のインスピレーション

そうなると、\(\displaystyle \int_{a}^{b}〇f''dx\) という形から、\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\) の形を登場させる必要があり、

部分積分

が頭をよぎると思います。

部分積分は

\(( \  \  \  \ )'\) のつけかえ

という側面をもつ積分方法だからです。

ここまでできれば、あとはゴリゴリ進めるのみです。

試験場での危険性

今回、\(f(x)\) が具体的に与えられているわけではありません。

ただ、皆さんがよく知っているように

放物線と直線で囲まれた部分の面積

というのは、工夫の余地がある話題です。

先ほど出した、直線 \(l\) の式が

\(y=\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\)

と見た目だけで言えば強面であることも相まって

「何かうまい方法があるのか?」

と疑心暗鬼になりやすく、特に試験場ではエレガントに解くことに固執しすぎると、大火傷につながりかねません。

  • 多少泥臭くても押し切れるのであれば押し切る
  • 手が止まってしまったら、ひとまず他の問題にうつる

という現場での的確な判断をする冷静さも大切です。
(分かってるよと思っていてもできないんですわ、これが)

解答はコチラ

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