実践演習 方程式・不等式・関数系

三角関数に関する方程式の扱い【置き換え型、合成型、中身比べ型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

三角関数に関する方程式について、代表的な処理から、少し凝ったものまで扱います。

 

三角関数における式変形の指針は

三角関数の式変形の指針

種類の統一

角度の統一

というのが基本です。

 

また、方程式を処理する代表的なタイプとしては

三角関数の方程式処理の代表例

置き換え型

合成型

中身比べ型

があります。

 

置き換え型と合成型については、単元学習の段階で触れる機会も多くありますし、その多くが定期考査レベルです。

それに対して中身比べ型は、置き換え型や合成型よりも触れる機会が少ないと思われます。

この機会に定着させておきましょう。

注意ポイント

中身を比べてみたときにどのようになっていればいいかを考えるのであり、決して「中身が一致」と翻訳してはいけません。

例えば \(\sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}=\sin{\displaystyle \frac{5\pi}{6}}\)  のように中身が違っていても \(\sin{ \ }\) の値が同じになることは多々あります。

 

今回の4題の中で最も難しいのは (4) でしょう。

等比中項

\(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  がこの順に等比数列をなすとき

\(b^2=ac\)

が成立する

という等比中項の処理をするところまでは手なりに進むでしょう。

 

ただ、その後の式変形において道を踏み外すと迷宮入りになってしまいます。

これに関しては手なりに進めてみて実感してみてください。

そして、その後のリカバリーをどうするかを考えてみましょう。

 

ちなみに (4) と似たような話題の中に「チェビシェフの多項式」という話題もあります。

難関大を目指すにあたっては一度は経験しておくといい話題ですので、そちらもチェックしておきましょう。

【チェビシェフの多項式のまとめはこちら】

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