実践演習 整数系

レピュニット数【1が並んだ自然数】【2008年度 東京大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

レピュニット数と呼ばれる、\(1\) が並んだ自然数についての問題です。

通知表では見たくない数です。

本問は

\(\overbrace{ 11 \cdots 1 }^{ n個 }=\fbox {n}\)

という記号で表現されていたのですが、いちいち \(\fbox{n}\) という見慣れない記号で表現するのがイヤだったのと、\(1\) が並ぶ個数 \(n\) によって定まるという関数的な意味合いを込めて \(f(n)\) と表現させてもらいます。

レピュニット数については様々な性質や特徴がありますが、本問は

これを聞きたきゃ別にレピュニット数でなくても色々問題作れるけど

という感じの問題です。

どちらかと言うと本問においてレピュニット数はあくまで「素材」であり、レピュニット数を素材とした論証問題という側面が強いと思います。

とは言え、完答するために求められる力は他の問題を倒すうえでも大切な力です。

(以下ネタバレ注意)

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(1) について

\(f(3^{m})\) のもつ素因数 \(3\) の個数が \(m\) 個であることを示すというのが趣旨です。

\(f(3^{m})=\cdots\) と直接式変形で押し切ろうとしても見通しが悪いので、方針としては数学的帰納法が自然かと思います。

(2) について

\(n\) ,  \(f(n)\) のもつ素因数 \(3\) の個数に注目したいと思うのが自然な思いでしょうか。

そう思えたら、\(a\) は非負整数 ,  \(b\) は \(3\) と互いに素な自然数として

\(n=3^{a}\cdot b\)

と表現したくなると思います。

その際

\(\overbrace{\overbrace{11 \cdots 1}^{3^{a}個}\overbrace{11 \cdots 1}^{3^{a}個} \cdots \overbrace{11 \cdots 1}^{3^{a}個}}^{b 個}\)

と分割して、\(f(3^{a}b)=f(3^{a})\times M\) というように \(f(3^{a})\) で括れるということを見越しておきたいところです。

急所としては、この\(f(3^{a}b)=f(3^{a})\times M\) における \(M\) は素因数 \(3\) をもっていないことを見抜く部分です。

つまり、

\(f(n)\) が \(27\) で割り切れる \( \Leftrightarrow \) \(f(3^{a})\) が \(27\) で割り切れる

ということになり、(1) に目を向けると \(a \geq 3\) であることが \(f(3^{a})\) が \(27\) で割り切れるための必要十分条件だと分かります。

\(a\) が \(3\) 以上なら (1) から\(f(3^{a})\) は \(27\) で割り切れますし、\(a\) が \(2\) 以下だと \(f(3)=111\) ,  \(f(9)=111111111\) が \(27\) で割り切れませんから。

このあたりを整理して記述することになります。

レピュニット数は公比10の等比数列の和

\(1=1\)

\(11=1+10\)

\(111=1+10+10^{2}\)

\( \ \ \ \ \ \vdots\)

というように、

\(f(n)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}10^{k-1}\)

という表現ができることに目を付けた解法も考えられます。

【戦略2】【解2】でこの路線は触れています。

27の倍数判定法を作ってしまう

\(3\) の倍数判定法:各桁の数字の総和が \(3\) の倍数かどうか

\(9\) の倍数判定法:各桁の数字の総和が \(9\) の倍数かどうか

というのは基本事項としてインプットされていると思います。

じゃあこれをとっかかりとして、

\(27 \ (=3^{3})\) の倍数判定法について切り込んで考えてみよう

という観賞用の解法について【戦略3】【解3】で触れてあります。

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