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トレミーの定理の証明を問題形式で考えてみます。
本問の (2) の内容がトレミーの定理です。
トレミーの定理は「裏技」的な位置づけで紹介されることが多いです。
今回は「トレミーの定理を使えば早い」といった類の問題ではなく、トレミーの定理そのものを導出することを趣旨とします。
証明はできないけど裏技として使用していた人は、これを機に今後気持ちよく使えるようにしてみてください。
(以下ネタバレ注意)
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(1) について
という図において、\(\triangle{\mathrm{ABD}}\) と \(\triangle{\mathrm{BCD}}\) において余弦定理を用いると
- \(\cos{A}=\displaystyle \frac{a^{2}+d^{2}-y^{2}}{2ad}\)
- \(\cos{C}=\displaystyle \frac{b^{2}+c^{2}-y^{2}}{2bc}\)
となり、半分は解決です。
残る \(\cos{B}\) と \(\cos{D}\) については
という図において、\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) と \(\triangle{\mathrm{ACD}}\) において余弦定理を用いて
- \(\cos{B}=\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}-x^{2}}{2ab}\)
- \(\cos{D}=\displaystyle \frac{c^{2}+d^{2}-x^{2}}{2cd}\)
を得て、解決です。
(2) について
四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が円に内接するという条件は
- \(\angle{A}+\angle{C}=\pi\)
- \(\angle{B}+\angle{D}=\pi\)
として翻訳するのがポピュラーでしょう。
(1) を誘導と見るのであれば、この式を \(\cos{ \ }\) の形まで落とし込み
- \(\cos{A}=-\cos{C}\)
- \(\cos{B}=-\cos{D}\)
という形で、(1) の結果をぶち込むことになります。
この後は手なりに進んでいくはずですが、人によっては、まごつく人も出てくるかもしれません。
そのあたりの考え方については【総括】の中で少し触れてあります。
その他の証明法について
トレミーの定理は様々な証明法があり、深追いしだすとキリがないところもありますが、いくつか【総括】のあとに別証明という形で紹介してあります。
以下は概略です。
別証明1
という補助線 \(\mathrm{AM}\) をひきます。
さらに
という三角形にも注目し、
- \(\triangle{\mathrm{DAM}}\) と \(\triangle{\mathrm{CAB}}\) が相似
- \(\triangle{\mathrm{ABM}}\) と \(\triangle{\mathrm{ACD}}\) が相似
ということを利用します。
別証明2
トレミーの定理は
対角線の積に関する定理
です。
そこに注目し
という
- 対角線の長さが \(k\) , \(l\)
- 対角線のなす角が \(\theta\)
という四角形の面積が
\(\displaystyle \frac{1}{2}kl\sin{\theta}\)
となることを利用していく方針もあります。
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