チェビシェフの多項式 テーマ別演習

チェビシェフの多項式 第2講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。

初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。

今回は第2弾です。

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チェビシェフの多項式 第1講【第1種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】

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チェビシェフの多項式 第2講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】

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チェビシェフの多項式 第3講【第2種チェビシェフの多項式】【1996年度 京都大学】

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チェビシェフの多項式 第4講【チェビシェフの多項式のグラフの特徴】【1997年度 京都大学】

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チェビシェフの多項式 第5講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】

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チェビシェフの多項式 第6講【変形チェビシェフの多項式のグラフ】【2004年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第6弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   (以下ネタバレ注意)   + クリ ...

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チェビシェフの多項式 第7講【ミニマックス原理との関連】【1977年度岐阜大学】

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今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。

チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は

チェビシェフの多項式が満たす漸化式

$$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)$$

という漸化式を満たします。

これは、和積公式

和積公式

$$\cos{(n+2)\theta}+\cos{n\theta}=2 \cos{(n+1)\theta}\cos{\theta}$$

から得られます。

この漸化式はチェビシェフの多項式の様々な性質を特徴づける漸化式です。

まずは背景的なものを抜きにして、本問を考えてみましょう。

解答の後の【総括】の部分で色々考察してみたいと思います。

解答はコチラ

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