シグマ計算 テーマ別演習

シグマ計算基本方針 第4講【応用実践】【2005年度 大分大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

【1】(以下ネタバレ注意)

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連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。

バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。

バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) ,  \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) ,  \(\cdots\)  などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。

和の中抜けを狙っていく独特の式変形をインストールしましょう。

初見だと厳しいものがありますし、テクっているようにも見えますが、よくやる工夫の範疇であり、慣れていくうちに自然に見えるようになってきます。

【2】(以下ネタバレ注意)

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【1】に引き続き連続する積ですが、奇数となっています。

【1】のシナリオがしっかりと身についていれば、自然に差分解ができます。

 

【3】(以下ネタバレ注意)

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第2講でも扱った「部分分数分解を用いた差分解からの和の中抜け」の派生形です。

第2講では\(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) を扱いましたが、分母が4連続整数となっています。

部分分数分解という手段だけでなく、差分解からの和の中抜けという目的を意識して式変形することを心がけましょう。

 

【4】(以下ネタバレ注意)

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第1項で扱った(等差)×(等比)型のシグマの派生形です。

(1次式)×(指数関数)となっていれば、(等差)×(等比)型となりますから、

(等差)×(等比)型

「カケズラ(公比をかけてずらす)」

という特効薬で倒します。

今回は「(2次式)×(指数関数)ですけど、どうしますか?」という問いかけです。

解答は愚直な方針と、見た目明快な方針と2路線用意しました。

 

 

【5】(以下ネタバレ注意)

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「(3次式)×(指数関数)という形ですけど、どうしますか?」という問いかけです。

とは言え、(指数関数)の部分は符号のみの影響です。

見た目に惑わされずに落ち着いて処理しましょう。

頭に血が昇ると見えるものが見えなくなります。

打開策の一つ

\(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \) の形で見えなければ、「\(\cdots\)」を用いて分かりやすく書き下す

これにより方針が見えることも多々あるということを教訓としてください。

 

 

【6】(以下ネタバレ注意)

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趣が変わり、階乗が絡んだシグマです。

シグマ計算基本方針

  • 公式利用とその延長
  • 差分解からの和の中抜け
  • 二項定理の活用

からすると、消去法的に「差分解からの和の中抜け」を狙ってみようと思いたいですね。

初見だと中々厳しいかもしれませんが、如何にして差分解するかということに意識を向けましょう。

ちなみにですが、

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \displaystyle\frac{ n! }{ k! ( n - k )! }\) であれば、

\(\displaystyle\frac{ n! }{ k! ( n - k )! }={}_n \mathrm{ C }_k\)

であるので、今度は「二項定理の活用」ということになるでしょう。

そのあたりの柔軟性も持ち合わせておきたいところです。

このシリーズの一覧はこちら

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シグマ計算基本方針 第4講【応用実践】【2005年度 大分大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【1】(以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) ,  \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) ,  \(\cdots\)  などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを ...

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各項目の例題については上のシリーズ一覧を利用して、適宜復習をしてください。

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