実践演習 数列系

カッシーニ・シムソンの定理【2012年度 兵庫県立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

 

一見すると複雑な漸化式です。

そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれています。

この実験から何を見出すかが大切です。

(以下ネタバレ注意)

 

 

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この漸化式は「\(a_{n}\) が分かっている」という前提では

\(a_{n+1}^{2}-■a_{n+1}+▲=0\)  という \(a_{n+1}\) についての2次方程式と見なせ、そこから \(a_{n+1}\) が求まるという構造です。

(2) では数列 {\(a_{n}\)} が単調増加数列であることの証明です。

関数だと \(f'(x) \geq 0\) を目指しますが、数列では「\(a_{n+1}-a_{n} \geq 0\)」を目指します。

つまり、階差数列を意識することになるわけです。

漸化式から階差数列を作る手法としては

階差数列を作る手法

番号をずらして辺々操作

が常套手段です。

本問の場合、この方法で番号をずらすと

$$a_{n+1}^{2}-a_{n}a_{n+1}-a_{n}^{2}=(-1)^{n} \ \cdots ①$$

$$a_{n+2}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1} \ \cdots ②$$

右辺は一方が1、他方が \(-1\) なので、辺々足せば \(a_{n+1}^2\) の項が消えて

\(a_{n+2}^{2}-a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}a_{n}=0\) でこれを因数分解すれば

$$(a_{n+2}+a_{n})( {(a_{n+2}-a_{n})-a_{n+1} })=0$$

を得て、数列 {\(a_{n}\)} が正の項からなる数列であるという条件を加味すれば、

$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$$

というフィボナッチ構造を得ることになります。

注意

厳密には、\(f_{1}=f_{2}=1 \ , \ f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\)  と初期条件が 1 ,  1  であるものをフィボナッチ数列と呼びます。

今回は初項が違うので「フィボナッチ構造」という呼び方をすることにします。

解説においても同様の呼び方をします。

フィボナッチ構造であることから「そりゃ単調増加だわ」となりますね。

そして(3)も同時に解決でしょう。

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