ベクトル

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな設定ではありますが、簡単ではありません。 分野の選択も含めて、どの道具を駆使して解き進めていくかの判断も求められます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 座標を導入すると まずは、\(A\)\((0 \ , \ 0)\) ,  \(B\)\((b \ , \ 0)\) ,  \(C\)\((c \ , \ d)\) などとおいてみます。 \(\overrightarrow{ AP }=p\ov ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 平面ベクトルの問題で、基本的には２本の主役ベクトル（基底）\(\vec {a}\) ,  \(\vec {b}\) を用いてゴリゴリ進めていく路線でいけば間違いないとは思います。 ただ、今回は至る所に現れる「垂直」であったり、それに付随する相似な関係など、適宜幾何的な目線で処理することで、処理を少しでも軽くするように工夫したいところです。 (1) の正射影ベクトルについては、手垢の付いた話題であり、巷では「公式化」しているかのように解説されて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   色々な方針が考えられます。 空間座標の問題においてはベクトルから攻めるのが常套手段ではあります。 その理由を説明するためには「方程式とは何ぞや」ということについて述べなければなりません。   「方程式とは何ぞや」ということをすごくざっくり言えば 「この＝を満たす○○集まれ～」 です。 １次方程式 例：\(3x-4=5\) →意味：\(3x-4=5\) を満たす \(x\) 集まれ！ →集まった結果（解）：\(x=3\) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   状況を図に書いてみて、言われていることを式に落とし込んでいったら、結論まで躓くことなく辿り着けるはずです。 一般に４点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\)  が同一平面上にあるための条件は次の通りです。 共面条件 空間内の異なる４点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\) が同一平面上にあるとき、実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて \(\overrightarro ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大にしては珍しく誘導があります。 (1) は幾何的に攻めたいですね。 ２定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。 (2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   京大が定期的に出題する小問集合のスタイルで、2019年度 ,  2012年度 ,  2011年度にも独立した問として、この形式で出題されています。 問１については京大は平面の方程式を前面に押し出す解答で大丈夫でしょう。ベクトルを駆使しながら確実に処理しきりたい問題です。 問２の確率については、単元学習の段階ではちょっとした難問でしょうが、実戦のレベルからすれば基本問題でしょう。 控えめに言って問２を落としてしまうと、ビハインドと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   急ぎで作成したので、勘違いや打ち間違い、計算ミスなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 （誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。） また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら   (1) の結果が少し疑心暗鬼になるような形でした。 計算ミスを何度も疑いましたが、試験場だと猶更平常心を保つのは難しいかもしれません。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 外心に関する論証問題です。 本問は名古屋大学の問題ですが、雰囲気は京大に近い感じですね。 昔の名古屋大学って結構切れ味が鋭い論証を要求していた時代もあって、個人的に割と好みだったりします。 最近の名古屋大学の問題はスタミナが必要な問題が多くて、昔と比べると問題の雰囲気も変わってきているなと感じます。 本問は誘導がないので、方針を自分で立てる必要があります。 普段の学習においては場当たり的に解くことなく、こういった方向性で進めようという構想をも ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     表向きは座標の標準問題、あるいは軌跡の問題の標準問題に見えますが、円の反転変換を題材にした問題で、入試においては高い頻度で登場する話題です。 古典的な内容であるため、考え方や流れにおいて、それなりにクセがあります。 特にオチである点 \(Q\) の軌跡については、一歩間違えると「どないすんねん」と身動きがとれなくなってしまいかねません。 逆に勉強してきた人からすれば「いただきます」と美味しく完答できるでしょう。 以 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   平面座標における角度の扱いと言えば 座標平面上で角度を扱うときの方針 ベクトルの内積を用いて、cos の服を着せて角度を扱う tan の加法定理を用いて、傾きとtan の関係を用いる 複素数平面として考えて、極形式を用いて回転させる というのが一般的です。   ただ、今回のような空間座標となってくると、ベクトルの内積を用いる方針しか使えないでしょう。 あとは幾何的に翻訳するとかも考えられるかもしれませんが、本問において ...