極限

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   前問に引き続き、ライプニッツ級数を題材とした定積分と不等式評価についての問題を見てみます。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を用いた誘導が付いた問題です。 (1) はイロハのイですが、今回は【総括】の中で \(x=\tan{\theta}\) の置き換えで上手くいくバックボーンについて触れておきました。   (2) においては「体の一部を定数化」です。 その際には、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   今回は \(\tan{ \ }\) に関する定積分を扱います。 積分漸化式の作成については「部分積分」というのが常套手段なのですが、\(\tan{ \ }\) に関する定積分については例外です。 今回の問われ方は「\(I_{n}+I_{n+2}\) を求めよ。」であり、これはかなり親切です。 「\(I_{n+2}\) を \(I_{n}\) と \(n\) を用いて表せ。」であれば正答率はもっと下がると思います。 その場合の対処 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば \(1 \lt □\) の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   定積分に関する評価と極限についての問題です。 (1) は基本的な積分計算で、ここは落とせません。 (2) が文句なしの難問です。 まず一般項 \(I_{n}\) は求められません。 ポイント 本人不在の極限は「はさみうちの原理」 難関大志望者であれば、これは必ずインストールしておきましょう。 ただ、求められないという判断をするにあたっては 「求められるものは求められる」と言えることが大切です。 自分の勉強不足で求められないのか、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第５弾です。 このシリーズのまとめはこちら   これまでのチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) と似ていますが、\(\cos{n\theta}\) ではなく、\(2\cos{n\theta}\) や、\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド３兄弟の一人、エピサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む どれだけ回転したかを表す量 \(\theta\) を導入すれば、点 \(P\) \((x \ , \ y)\) について $$\begin{eqnarray} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\) ,  \(b_{n+1}=\sqrt {a_{n}b_{n}}\) という漸化式で与えられる数列  {\(a_{n}\)} ,  {\(b_{n}\)}  の極限は 算術幾何平均 と呼ばれます。（ガウスによって深く研究された。） 本問は  \(b_{n+1}=\sqrt {a_{n+1}b_{n}}\)  なので、同じ括 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。 もし、初見であれば、まずは初見でやってみてください。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 縮小関数による漸化式の極限のキーワード ①：\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 ) ②：\(f(x)=x\)  (不動点の存在) ③：\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式 オチはあらかた決ま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 反復試行の確率の形をしているため、下手なことを考えると右往左往しかねない問題です。 シンプルに極限の問題と捉えて考えましょう。 + クリック（タップ）して続きを読む \(\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{ C }_r=\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }{ r! } \end{eqnarray}\) と、まずは\(\begin{eqnarray}{}_n \m ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     1990年度の東京大学の問題で、この年は東大の歴代前期試験の中でも凶悪な難易度を誇った年として有名です。 この問題も強靭な思考力と粘り強さ、そして考えを的確に表現する力など、かなりの総合力を求められます。   「十分な回数サイコロを投げ、出た目を末尾にどんどん追加して作った数字が、\(\alpha\) 以下となる確率」 と、題意としてはシンプルですが、やってみると  " 言葉にできないもどかしさ "  を ...