高次方程式

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 高次多項式に関する求値問題で、難易度としては基礎寄りの基本問題です。 因数定理の運用に関する問題としては適度な難易度であり、ポイントが絞られていることもあり、例題として扱いたい要素があります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(Q(1)=Q(2)=\cdots=Q(2006)=0\) という強力な条件は、因数定理をインスピレーションさせるでしょう。 \(2006\) 次式 \(Q( ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 元々４次方程式の解法についてはフェラーリの方法が有名ですが、今回はオイラーさんにスポットが当たっています。 ４次方程式の解法について 「オイラーさんがこういう方法を考えたんだけど、一緒に解いてみよう」 というN◎K的な問題です。 逆に言えば、言われたことをやっていればできてしまうとも言えます。 根号が次から次へと飛び交うため、整理力がモノを言います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 未知数が３個に対して、条件式が２つですから、一見すると条件式の個数が足りず焦るかもしれません。 本問を解ききれるかどうかは、観察力などに加え、「諦めない心と粘り強さ」という精神論的な力が必要かもしれません。 そういった意味でキッチリと差が付くでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 実験してみる \(x=1\) ,  \(y=1\) ,  \(z=1\)  というのはすぐに見つかると思います。 それ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(x^{3}-3x+1=0\) という３次方程式の解が \(x^{2}-2\) という２次関数を用いてグルグル巡回するという面白い話題です。 丁寧な誘導があるため、本問を解くこと自体は基礎力があればそこまで難儀ではありませんが、 「こんなカラクリどうやって思いついたのかしら」 という疑問に少しだけお応えするために、本問のカラクリや背景的なものに少しフォーカスしてみたいと思います。 ひとまずは本問を解いてみてください。 （以下ネタバレ注意） ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 方程式の実数解の個数を数えるというテーマとしてはよくある話題です。 ただなまじ色々見える分、方針決定が難しく、押し通すにしてもそれなりに腕力が必要なので、各方針の引き際を見極めるのが難しいと思います。 試験場ではこういった 色々見えるものがあり、うまくやろうと試みたが結局うまくいかず、愚直にゴリゴリ進めるのが最善だった という類の問題が厄介です。 特に本問は「作為めいた匂いのする設定」が見た目から漂ってきます。 （以下ネタバレ注意） &nbs ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次方程式の解の極限について扱う問題ですが、口で言う以上の様々なテーマや教訓を含んでいます。 極限についてや、方程式の扱いについての実戦問題として得るものが多い良問だと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について これについては基本的な問題で、 ①：単調性と連続性 ②：代入して正となる値の存在 ③：代入して負となる値 の３点を確認します。 ②と③については今回は極限について考えれば十分 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(n\) 次方程式の解の限界を係数を用いて考えるという古典的な話題です。 係数を見ただけで、その \(n\) 次方程式の解の限界が判断できるとなれば、それは結構有用性がありますね。 まずは２次方程式という具体的な場合についてを例題と ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 合成関数が絡んだ高次方程式を解く問題です。 誘導があるため、難易度としては標準と言ってもよいでしょう。 場当たり的に雰囲気で解けてしまったという人も多いと思いますが、見通しを持ちながら解き進めることができるかどうかについてをチェックしてほしいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 不動点について \(f(x)=x\) を満たすような \(x\) を不動点と言います。 \(f(x)=x\) という ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 係数が左右対称となっているような方程式を 相反（そうはん）方程式 と言います。 ノーヒントかつ初見だとアタフタしますが、大抵誘導がついています。 とは言え仮にノーヒントであったとしてもある程度は対応できるように準備はしておきましょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 偶数次相反方程式の特徴 今回の例題をもとにしますが、偶数次の相反方程式の特効薬は 偶数次の相反方程式の特効薬 真ん中で割る という態度に ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     一見複雑に見える数が、実はシンプルな数でした、ということを示す問題で、背景には３次方程式の解の公式（カルダノの公式）があります。 本問以外にも類題は多数あり、経験済みという方も多いかもしれません。 大抵誘導が付いていますから、その誘導の流れをきちんと汲み取ることができれば、背景を知らなくとも問題を解くこと自体はそこまで難しくないと思います。   (1) においては \(x^3\) を計算することになると思 ...