実践演習 数列系

n桁以下の自然数を並べてできる数【1997年度 慶応義塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

ルール自体はシンプルなルールな問題です。

難易度自体も標準的な難易度だと思いますが、

  • 急所を抽出する
  • 抽出した急所を処理する

のどちらの力が欠けていても完答は遠のくでしょう。

(以下ネタバレ注意)

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(1) について

具体的な場合の検証的設問です。

イメージとしては

というイメージを持ち、並んでいる数字の個数が桁数であることを考えると

\(1\cdot 9+2 \cdot 90+3 \cdot 900\)

とカウントすればよいわけです。

(2) について

桁数については (1) と同じ要領でよいでしょう。

数字 1 が現れる回数について

もう少し桁数を落として簡単なもので要領を掴んでみたいと思います。

例えば \(A_{2}\) について考えてみます。

シンプルに、

  • 1の位に現れる数字1
  • 10の位に現れる数字1

をカウントして合算する作戦が自然でしょうか。

というイメージで各位の 1 の個数をカウントしていきます。

振り返ってみると

簡単な例を基に掴んだ要領を、一般論に拡張するということは難問を切り崩す態度の一つです。

本問は手ごろな難易度でしたが、難易度以上に得られるものはあるはずでしょう。

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