実践演習

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問題】の【総括】で扱うことにします。 ここでは平面版のメネラウスの定理の拡張を前面に出した幾何的な路線をメインの路線として考えてみます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 平面版のメネラウスの定理の主張 というように、 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) を、直線 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 通称「水の問題」と呼ばれている問題を扱います。 理解したうえで勘所をもっていないと、右往左往しかねませんし、解答を読んでも 聞けば分かるけど自力でできない ということになりやすい問題です。 少しでも自力で解き進めるためにどういう意識をもって考えていくかということを少しでも持ち帰っていただければと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 体積は時刻に依存する 今回の水の体積 \(V\) は時刻 \(t ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３文字の基本対称式に関する最大公約数について考える問題で、見た目のインパクトが大きい問題です。 ２文字の基本対称式についての 有名事実 正の整数 \(p\) ,  \(q\) に対して \(p+q\) ,  \(pq\) が互いに素  \(\Leftrightarrow\)  \(p\) ,  \(q\) が互いに素 という事実の、３文字への拡張ということになります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 最短経路に関する問題は大抵の場合 場合の数・確率 の分野の問題です。 本問は最短経路に関する場合の数ではなく、最短経路を題材として式の扱いや論証力を試す最大最小問題です。 経験と思考力の双方が求められます。 割合的には思考力寄りの問題で、アイデア一つで困難を乗り越える感覚が味わえる好きな問題の一つです。 そのアイデアも突拍子もないものではなく、難関大受験生なら一度はどこかで目にしたことのあるアイデアです。 また、そのアイデアをインスピレーショ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(n\) ,  \(m\)  という２変数が絡む漸化式の問題です。 試験場だと「ウッ」となるやもしれません。 ふたを開ければ、難関大受験生にとっては基本の処理となりますが、 ふたがそれなりに重い ふたが開けられても、その後の処理は差がつく という要素をもっており、完答するためには「確かな力」が必要となります。 試験場で見慣れない未知の問題に出会ったら、という耐性をつけるという想定で臨んでみてください。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ベクトルの三角不等式を題材とした問題です。 (1) ,  (2) までは基本的な内容の確認ですが、最後の (3) は難しいと思います。 ただ、ありふれた材料をもとにコクのある味わいに仕上げた名作です。 活路を見出せると気持ちよさを感じるでしょう。 ただ、限られた時間しかない試験場では撤退せざるを得ない可能性も大いにあります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ベクトルの三角不等式 (1) の (イ) で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） オイラー線と呼ばれる有名な話題について扱います。 1993年度札幌医科大、2006年度岩手大、2018年度上智大など、出題校をあげていくとキリがありません。 今回は最も標準的な訊き方をしている問題を例題としてもってきました。 本問の流れやストーリー、結果は難関大を目指すにあたり記憶に値します。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む オイラー線について オイラー線 三角形 \(\mathrm{ABC}\) の ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\tan{ \ }\) の値が与えられ、その角度に関する評価を考える問題です。 先日 という \(\cos{ \ }\) の値に関する評価問題を考えましたが、本問は \(\tan{ \ }\) にスポットが当てられています。 難易度は難関大に合格するためには試験場では確保したいレベルです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(\alpha\)が鋭角なのであれば という図を考えれば ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな３辺の長さをもつ三角形の内角がどの程度の大きさなのかを見積もる問題です。 具体的な値が出てこないことに対する恐怖感を拭えない受験生は多く、本問はキッチリと差がつく標準問題でしょう。 それにしても \(\angle \mathrm{A}\) という記号が不等号記号と一緒にされると見づらくてしょうがありません。 以下では単純に頂点 \(\mathrm{A}\) を見込む内角を単に \(A\) などと表すことにします。 （以下ネタバレ注意 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 数学では珍しい一問一答的な問題です。 ただ、その中でも 特徴的な形を見逃さない 特徴を抽出する という力を養ううえでいい訓練になると思います。 特に最後の \(f(2x)=f(x)\) を満たす \(f(x)\) については、人によっては苦戦するでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(f(-x)=-f(x)\) は奇関数がもつ特徴的な性質です。 (というより、この特徴をもつ関 ...