実践演習

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 難関大の問題では図形を扱う際、どの分野で解き進めるかという選択を迫られることが多いです。 その分野として多いのが 図形を扱う代表的分野 幾何（三角比や初等幾何） 座標 ベクトル 複素数平面 という４分野です。 そして、見た目通りの分野が最短の解法になるとは限らないところが厄介です。 見た目ベクトルの問題だけど、座標で解いたり、見た目座標の問題なんだけど幾何的に見た方が早かったり \(\cdots\) といった具合です。 本問は非常に多くの戦略 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   空間座標における回転体というトピックスで、難関大を目指すにあたっては避けては通れない話題です。 一般に 空間座標における回転体の扱い方 全体像を捨てろ 切ってから回す（先に回すな） 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える がポイントになる点です。 全体像については「仮に分かったとしても、それが体積を求めることに役に立つのか？」ということを考えれば、考えるだけ無駄です。 むしろ混乱するだけなので、考えない方がいいぐらいです。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   減衰曲線を扱った定番の問題です。 本問に限らず、同様の趣旨の問題は毎年どこかでは出題されます。 多少の亜種はありますが、シナリオは大きく変わりません。 今回は一番シンプルな  \(y=e^{-x}|\sin{x}| \)  というタイプの減衰曲線をもってきました。 これについては「定着するまできちんと勉強してきたか」ということで差が付くでしょう。 特に理系の現役生の方は数Ⅲの完成度がモノを言います。 数Ⅲについてはやるべきことや ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   特徴のある式についてはその個性を活かした扱い方をします。 もちろん、そんな個性のある式はそんなに沢山あるわけではありません。 対称式、交代式、相反式 \(\cdots\) など名前がある式については、個性があるから名前がついています。 今回はその中でも「同次式（斉次式）」というものを扱います。 同次式とは、各項の次数が同じ式のことです。 同次式の例 ①：\(3x^{2}+4xy-y^{2}\) ②：\(4x^{3}+5x^{2} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     ２変数関数の最大最小問題で、本問のように「それ自身が問題」ということもあれば、「問題を解く中で処理する必要がある」場面もあるでしょう。 そういった意味で、最大最小問題についての基本的な方針は身につけておく必要があります。 今回は従属２変数関数の最大最小問題について見ていきます。 (1) で通用する態度が (2) で通用しないと思いますので、そのあたりをどう乗り越えるかを考えてみましょう。   （以下ネタバ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   約数を拾うタイプの問題で、定番の問題に見える一方、解き進めていくと、本問がもつ個性に注目して解き進める必要性も出てくるため、非常にいい問題です。様々な解法も考えられるため、教材として採用したくなりますし、実際様々な問題集などで採り上げられています。 問題自体は「積の形から約数拾い」という方針が目につく形です。 最初の一手である因数分解は恐らくすぐに気が付けると思います。 \(a(a-1)=2^{4}5^{4}M\) という形を得 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     本問は不定方程式に関する基本的な確認から、少し対応力が必要な設問まであります。 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い 余りで分類 評価する（範囲を絞る） と、整数問題に対する有力な方針は３つあります。 もう少し単純な例題で確認したい方は以下に折りたたんでおくので、「＋マーク」をクリック（タップ）して確認してみてください。     + クリック（タップ）して続きを読む 積の形から約数の拾い上げ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     等式・不等式の証明問題の問題として、本問は要点が凝縮されています。 そのためか練習問題として様々な問題集に収録されています。 演習の初期としては手ごろなレベルだと思います。 経験の有無に左右されるポイントや急所を含んでいますが、逆に言えば勉強していれば試験場では確保できる問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む パッと思いつく方針としては 重要 \(x^{3}+y^{3} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   フェルマーの小定理 \(p\) を素数 , \(a\) を任意の自然数とするとき \(a^{p} \equiv a\)  (mod \(p\)) また、\(a\) と \(p\) が互いに素であるとき \(a^{p-1} \equiv 1\)  (mod \(p\)) というフェルマーの小定理をオチにした問題であり、様々な大学で類題が出題されています。 高校生で扱える範囲で、この話題を扱おうと思うとどうしても似通った問題となって ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   原点からスタートし、ある確率に従って進む方向が決まるという、よくある設定の問題です。 本問は2017年度の東大の問題ですが、この年は例年に比べ基本的な問題が多く、とりこぼしが致命傷になるような問題が並んでいた年でした。 そんな中の一問が本問であり、難易度としては基本的だと思いますが、「試験場補正」がかかりかねない問題だとも思います。 場合の数や確率は、試験場においては 「計算上、出てきた数値を信じるしかない」 という側面があると ...