極限・微分積分系

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積についてのキレイな結論を証明する問題です。 \(f(x)\) が具体的に決まっていない抽象的な状態で話を進めていかなければならないため、差がつくでしょう。 この問題は、「知識や経験、勉強量」によるものではなく、単純に「頭の使い方」によって差がつくと思います。 解けた人→「えっ？何が難しいの？」 解けなくて解答を見た人→「なんでこれができなかったんだ？」 という感想が出てくるのではないかと思います。 試験場 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ウィルティンガーの不等式と呼ばれる ウィルティンガーの不等式 \(f(x)\) が周期 \(2\pi\) をもち、\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x) dx=0\) を満たすならば \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \{f'(x)\}^{2} dx \geq \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \{f(x)\}^{2} dx\) が成り立つ。 という、解 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 長さが一定の放物線の弦の中点について考える問題です。 素直に立式していけば特に無理はないのですが、普段から場当たり的に問題を解いていると意外と右往左往しかねません。 合格者にとってのスタンダードとなるレベルといってよいでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について ひとまずは \(\mathrm{P}\)\((p \ , \ p^{2})\) ,  \(\mathrm{Q}\)\((q ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 分数形の関数の極限が有限確定値に収束するための条件について考える問題です。 話題としては定番の話題に入ると言ってよく、試験場で初見というのは難関大受験生としては準備不足と言わざるを得ないでしょう。 出典をあげればキリがありません。 もっと手ごろな「The例題」という問題もゴロゴロありますが、今回の例題は極限の計算力を手ごろに試せる実戦的な良問としました。 今回は例題のような定番のタイプに加え、少し味付けの違うタイプの問題も２題準備してあります ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(1^{k}\) から \(n^{k}\) までの \(k\) 乗数の相加平均に関する不等式証明の問題です。 見慣れない記号に圧倒されるかもしれませんが、紐解いていけば、これまでの学習が活かせるような形が現れるはずで、それを見落とさずに捌いていきましょう。 とは言え、最後まで完答するためには 機械的なマニュアルではない、観察力 を要する部分もあるため、試験場で確保できると破壊力がある難易度です。 （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ニュートン法と呼ばれる「よりよい近似解」を求めるアルゴリズムについて考える問題です。 問題を解くこと自体は誘導がついているため、きちんとした基礎学力があれば無理なく進められるようにはなっています。 グラフ的に考えると、最後の極限の値は予測できますし、今回の数列 \(\{x_{n}\}\) がどのような数列であるかも理解できるでしょう。 ただ、グラフ的に考えるのはあくまでイメージで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\sin{\infty}\) という一見収束しないように見える形の極限値を求める問題です。 結果的にこの極限が収束するというのは、感覚的に不思議な感じがします。 本問は適切な誘導があるために、完答するのもそこまで無理な話ではありません。 しかし、ノーヒントだと多くの人がアタフタして終わりということになりかねないでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について ひとまず、目がチカチカする ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） コッホ雪片と呼ばれる有名な図形を題材とした問題です。 操作の意味と特徴をしっかりと把握できれば、問題の難易度自体は標準的な難易度です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 今回の操作 今回の操作は というように、外側に「ボコ」っと盛り上がるようなイメージです。 今回の図形のイメージ 今回の図形 \(D_{0}\) ,  \(D_{1}\) ,  \(D_{2}\) \(\cdots\) のイメージは とい ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 通称「水の問題」と呼ばれている問題を扱います。 理解したうえで勘所をもっていないと、右往左往しかねませんし、解答を読んでも 聞けば分かるけど自力でできない ということになりやすい問題です。 少しでも自力で解き進めるためにどういう意識をもって考えていくかということを少しでも持ち帰っていただければと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 体積は時刻に依存する 今回の水の体積 \(V\) は時刻 \(t ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 関数方程式の問題で、最終的には微分方程式に帰着するタイプです。 場数を踏むことで、このトピックスに対する勘所を掴んでいきましょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 与えられた手持ちの武器は \(f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)\) という式しかなく、具体的に \(f(x)\) が与えられているというわけではありません。 この等式から \(f(0)\) に辿り着くために、 特殊な値 ...