問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
連立漸化式をベースとした整数問題であり、ざっと見た感じだと
「証明のベースは漸化式と相性の良い数学的帰納法かな。全貌に関しては手を動かしてみないと分からんな。」
という印象でした。
(1) は計算するだけなので、問題はないでしょう。
(2) ですが、
\(a_{n}\) が常に偶数なのか、\(b_{n}\) が常に偶数なのか、時と場合によって違うのか
という疑問のもと、実験して様子を掴んでみようと思いました。
実験の結果、\(a_{n}\) , \(b_{n}\) の偶奇は入れ替わっていくことが読み取れます。
つまり、\(n=1\) , \(2\) , \(\cdots\) に対して、\(a_{n}\) と \(b_{n}\) の偶奇が異なることを示せばよく
\(a_{n}+b_{n}\) が奇数である
ということを示せばよいことが分かります。
方向性さえ決まれば、その手法は目論見通り帰納法で示すことになります。
(3) についても同様に、実験をしてみて、
- どのようなメカニズムで 4 の倍数になっているのか
- どのようなメカニズムで 7 の倍数になっているのか
ということを探っていくという姿勢で進めていきます。
漸化式を解きにいくという姿勢だとおかしな方向に行ってしまいます。
漸化式を漸化式のまま扱うことが必要です。