2021年度　東北大学理系第３問【正八角形の頂点でつくる三角形】

正多角形の頂点を用いて三角形を作る定番の話題です。

話題自体は定番なのですが、色々なバリエーションがあるため、数えさせられるものも様々です。

(1) は直角三角形の個数で、定番中の定番です。

直径に対して残り１点を決めるという流れで求めればよく、これは落とせないでしょう。

(2) は直角三角形が (1) で求まっています。

そこで、

（直角三角形の個数）＋（二等辺三角形の個数）ー（直角二等辺三角形の個数）

によって、直角三角形または二等辺三角形の個数が得ることを考えます。

それを全体から引けばよいでしょう。

(3) は結局選んだ４点の中に直径となるような２点が入っていれば (＊) を満たすことになります。

辺として直径を含むのか、対角線として直径を含むのかで場合が分かれますが、対角線は２本あるので重複の可能性に気をつけないといけません。

試験場だと、正しく考えたとしても「大丈夫だよな？見落としはないよな？」と不安になりやすいかもしれません。

難易度は標準です。

また、定番の直角三角形、鈍角三角形、鋭角三角形については一般論で考える以下の問題も参考にしてください。