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座標平面上を\(x\) 軸、\(y\) 軸、\(y=x\)、\(y=-x\) を対称軸として対称移動していく動点 \(\mathrm{P}\) に関する確率の問題です。
良心的な誘導設問があるため、その誘導にきちんと乗れれば完答も無理はないレベルでしょう。
本問は \(p_{n}\) などの設定が問題文の段階では設定されていないため、漸化式を導入するか否かという判断は自分ですることになります。
本問は動点 \(\mathrm{P}\) は限られた点を推移していくため、自然に確率漸化式の導入を考えたいところです。
今回 (1) の結果を見ると、動点 \(\mathrm{P}\) がとりうる点の座標が８つあるため、スタートの点\((2 \ , \ 1)\) を\(\mathrm{A}\) として、そこから反時計回りに
\(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{G}\), \(\mathrm{H}\)
と名前をつけ、\(n\) 秒後にそれぞれの点にいる確率を
\(a_{n}\) , \(b_{n}\) , \(\cdots\) , \(h_{n}\)
とします。
このように、８つの数列を導入することになりますが、(2) で匂っている対称性を利用することで実質半分の
\(a_{n}\) , \(b_{n}\) , \(c_{n}\) , \(d_{n}\)
という４種の連立漸化式の処理ということになります。
この連立漸化式の処理については手際が問われます。