2024年度　東京大学理系第３問【対称性のある確率漸化式】

2024年3月2日

座標平面上を $x$ 軸、 $y$ 軸、 $y=x$ 、 $y=-x$ を対称軸として対称移動していく動点 $\mathrm{P}$ に関する確率の問題です。

良心的な誘導設問があるため、その誘導にきちんと乗れれば完答も無理はないレベルでしょう。

本問は $p_{n}$ などの設定が問題文の段階では設定されていないため、漸化式を導入するか否かという判断は自分ですることになります。

本問は動点 $\mathrm{P}$ は限られた点を推移していくため、自然に確率漸化式の導入を考えたいところです。

今回 (1) の結果を見ると、動点 $\mathrm{P}$ がとりうる点の座標が８つあるため、スタートの点 $(2 \ , \ 1)$ を $\mathrm{A}$ として、そこから反時計回りに

$\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ , $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ , $\mathrm{H}$

と名前をつけ、 $n$ 秒後にそれぞれの点にいる確率を

$a_{n}$ , $b_{n}$ , $\cdots$ , $h_{n}$

とします。

このように、８つの数列を導入することになりますが、(2) で匂っている対称性を利用することで実質半分の

$a_{n}$ , $b_{n}$ , $c_{n}$ , $d_{n}$

という４種の連立漸化式の処理ということになります。

この連立漸化式の処理については手際が問われます。