2023年度北海道大学理系 各解説記事
2023年度 北海道大学理系第１問【複素数平面上の図形列】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。 試しに \(C_{1}\)から \(C_{2}\) を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら \(C_{n}\)から \(C_{n+1}\) を作るのもできるはずです。 変換の意味を考えてみると、 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小＆平行移動 で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでし ...
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2023年度 北海道大学理系第２問【球と直線の２交点】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。 手始めに球の中心と平面 \(\mathrm{ABC}\) との距離を求め、次に球の中心の座標を求め、オチは球と直線の２交点の距離を求めるという流れです。 計算量、難易度はともに標準的で、今年 (2023年) のセットの中では唯一無理のない範囲で完答が狙える問題です。 律儀に \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸を書いてやろうとすると見にくく使い物にならない絵を貴重な時間を割いて書く ...
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2023年度 北海道大学理系第３問【２変数についての方程式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） グラフを用いて方程式の解について考察する問題です。 (1) は非常に基本的かつ定番の問題であり、(2) 以降の足掛かりとなる問題であるためこれを落とすことは許されないでしょう。 実質的には (2) 以降が勝負です。 (1) の関数 \(f(x)\) を用いると、(2) で与えられている等式は \(f(x)f(y)=c\) という形で表されています。 ここから何をしてよいのか戸惑ってしまう受験生もいたかもしれません。 (1) の結果を活用しよう ...
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2023年度 北海道大学理系第４問【さいころの目で定まる値に関する確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） さいころの目によって定まる値のとり得る値に関する考察問題で、見かけで怯んでしまう受験生も多そうです。 文系との一部共通問題で、文系では \(K_{2}=5\) となる確率を求めよ。 というさらなる実験的設問がありましたが、理系ではカットされています。 (1) の \(K_{3}=5\) という場合でもよく見えなかった場合、自分で \(K_{2}=5\) という場合も考えてみるのも一つの手で、とにかく実際に手を動かす中で要領を掴むことが大切です ...
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2023年度 北海道大学理系第５問【円の接線に関する対称点】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円の対称点について色々味付けがしてある問題です。 (1) , (2) までは何とか確保したいレベルです。 (3) も \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{D}\) が同一直線上にあるという共線条件の翻訳さえできれば、(1) で考えた方程式が現れますので、前半の存在性についての証明は終わっているに等しい問題です。 難しいのは後半の一意性の証明です。 気がつけばそこそこの計算量で収まる路線 ...
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と、形式に変更はありません。
分野的トピックス
第１問：複素数平面 極限（数Ⅲ）
第２問：空間ベクトル
第３問：微分法（数Ⅲ）
第４問：場合の数・確率
第５問：図形と方程式 微分法（数Ⅲ）
若干微分法（数Ⅲ）に偏った出題でした。昨年(2022年)は積分の話題はありましたが、具体的な積分計算がありませんでした。
今年は積分法の出題そのものがありませんでした。
各大問について
第１問（標準～やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。
昨年 (2022年) の第２問にベクトルに関するやたら重たい漸化式の問題がありましたので、過去問をやっているであろう受験生は嫌な予感がしたかもしれません。
本問は要領さえつかんでしまえば標準的な内容なのですが、焦りによってつかめるはずの要領がつかめなかったという受験生も少なくないと思います。
日本語で書かれている帰納的な定義を式に落とし込んで立式していくことが必要です。
試しに \(C_{1}\) から \(C_{2}\) を作ってみるなど、具体的なもので実験してみると要領が掴みやすくなると思います。
この図形列は
- \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小＆平行移動
によって帰納的に定まっていくことを考えると、最後の結論は見える人には見えてしまいます。
第２問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。
計算量・内容ともに標準的な難易度であり、今年 (2023年) のセットでは無理なく完答を狙える貴重な１問と言ってよいでしょう。
本問を確保できればひとまずはホッとできると思います。
第３問（標準～やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
グラフを用いて方程式の解について考察する問題です。
(1) は非常に基本的かつ定番の問題であり、(2) 以降の足掛かりとなる問題であるためこれを落とすことは許されないでしょう。
方程式の解の個数を視覚化して論じる問題自体はよくあり、定番の話題です。
それを本問のような形で拡張する問題は類題豊富というわけではなく、変化球かもしれません。
ただ、問題としてはよくできた面白い問題で、今後の教材としても注目したい問題です。
難易度としては標準～やや難と意見が割れるレベルでしょう。
第４問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
さいころの目によって定まる値のとり得る値に関する考察問題で、見かけで怯んでしまう受験生も多そうです。
文系との一部共通問題で、文系では
というさらなる実験的設問がありましたが、理系ではカットされています。
結局どういう現象が起こっていればよいのかを咀嚼する力と整理する力が必要となります。
構造を掴むまでにそれなりの時間とエネルギーを要するため、限られた時間内で焦りのある中では中々スムーズにいけないでしょう。
やや難と言ってよいと思います。
第５問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
一見すると座標に関する図形と方程式分野の問題に見えますが、実質的な中身は数Ⅲの微分法の問題です。
(1) は一目中間値の定理ですし、(2) の対称点の導出に関しても定番のテーマなので、ここまでは難なくこなしたいところでしょう。
(3) は \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{D}\) が同一直線上にあるという共線条件の翻訳さえできれば、(1) で考えた方程式が現れます.
なので、前半の存在性についての証明は終わっているも同然です。
したがって、ここまで確保できればこの問題に関しては御の字です。
後半の一意性の証明については計算が重く、スタミナが必要となります。
形から相加平均・相乗平均の関係を利用する部分がスムーズに思いつけばよいですが、恐らく後から解答を見て
「何だよ～そうじゃんか」
と唇を噛むのが大半だと思います。
なお、相加平均・相乗平均の関係を使わない素朴な解答は個別の解説記事の中で扱っていますので、よかったら参考にしてください。
ただ、その場合でも息の長い計算が要求されます。
全体的に
北大は旧帝大の中では比較的素直で標準的な出題が特徴です。
昨年 (2022年) は前半３題がひりつくような難易度で、後半２題が異様に簡単というはっきりしたセットで、難化しました。
2022年が難易のはっきり分かれていたセットだったのに対して、今年 (2023年) はどの問題も満遍なく骨があるというタイプのセットで、セットとしてはやや難化しました。
- 第２問
- 第３問 (1)
- 第４問 (1)
- 第５問 (1) (2) (3) 前半
を確保し、残りをいかにかき集めるかという勝負でしょう。
個人的には、上記の問題を確保し、残された時間内では
第１問・第３問
あたりを優先的に時間をかければよいのではないかと思います。
特に第１問は実験して要領を掴めば無理がなく、時間さえあれば完答の可能性が十分にあります。
第３問は１文字固定の考え方はきちんと勉強してきた難関大受験生であれば身につけているはずの考え方ですし、「何が難しいの」とさえ思う受験生もいると思います。（多くはないと思いますが）
ここ最近難化傾向が続いている北大ですが、九州大と同じく、標準的で典型的な問題さえできればよいという考え方でいるとおいていかれかねません。
特別なことをしろというわけではありませんが、定番の問題に対する対応力をベースとして、そこから思考力（試行力）を磨くという時間をどれだけ確保できるかが大切になってくるでしょう。
2023年度北海道大学理系 各解説記事
2023年度 北海道大学理系第１問【複素数平面上の図形列】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。 試しに \(C_{1}\)から \(C_{2}\) を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら \(C_{n}\)から \(C_{n+1}\) を作るのもできるはずです。 変換の意味を考えてみると、 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小＆平行移動 で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでし ...
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2023年度 北海道大学理系第２問【球と直線の２交点】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。 手始めに球の中心と平面 \(\mathrm{ABC}\) との距離を求め、次に球の中心の座標を求め、オチは球と直線の２交点の距離を求めるという流れです。 計算量、難易度はともに標準的で、今年 (2023年) のセットの中では唯一無理のない範囲で完答が狙える問題です。 律儀に \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸を書いてやろうとすると見にくく使い物にならない絵を貴重な時間を割いて書く ...
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2023年度 北海道大学理系第３問【２変数についての方程式】
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2023年度 北海道大学理系第４問【さいころの目で定まる値に関する確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） さいころの目によって定まる値のとり得る値に関する考察問題で、見かけで怯んでしまう受験生も多そうです。 文系との一部共通問題で、文系では \(K_{2}=5\) となる確率を求めよ。 というさらなる実験的設問がありましたが、理系ではカットされています。 (1) の \(K_{3}=5\) という場合でもよく見えなかった場合、自分で \(K_{2}=5\) という場合も考えてみるのも一つの手で、とにかく実際に手を動かす中で要領を掴むことが大切です ...
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2023年度 北海道大学理系第５問【円の接線に関する対称点】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円の対称点について色々味付けがしてある問題です。 (1) , (2) までは何とか確保したいレベルです。 (3) も \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{D}\) が同一直線上にあるという共線条件の翻訳さえできれば、(1) で考えた方程式が現れますので、前半の存在性についての証明は終わっているに等しい問題です。 難しいのは後半の一意性の証明です。 気がつけばそこそこの計算量で収まる路線 ...
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